数据结构：图文详解树与二叉树（树与二叉树的概念和性质，存储，遍历）

àì夳堔傛蜴生んèń 2024-02-05 19:11 86阅读 0赞

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**目录**

一.树的概念

二.树中重要的概念

三.二叉树的概念

满二叉树

完全二叉树

四.二叉树的性质

五.二叉树的存储

六.二叉树的遍历

前序遍历

中序遍历

后序遍历

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## 一.树的概念 ##

![b6a0ea906b864a91969801db1b215b47.png][]

树是一种**非线性数据结构**，它由节点和边组成。树的每个节点可以有零个或多个子节点，其中一个节点被指定为根节点。树的节点之间通过边连接。另外，树形结构中，**子树之间不能有交集**，否则就不是树形结构。

树的结构具有层级关系，根节点位于最顶层，而叶节点位于最底层。树的形状可以类比于现实生活中的树，根节点相当于树的根部，而分支和叶子节点则相当于树的枝干和叶子。

在计算机科学中，树被广泛用于各种应用，例如文件系统、数据库索引、编译器中的抽象语法树等。树的常见特点是具有唯一的根节点、没有循环的边、可以有任意数量的子节点等。

![da5bd89cdf604a469a84a9fa24b45c3d.png][]

树的常见操作包括插入新节点、删除节点、查找节点、遍历节点等。常见的树结构包括二叉树、红黑树、AVL树等。树的设计和使用在算法和数据结构领域中非常重要，它可以提供高效的数据存储和检索方式。

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## 二.树中重要的概念 ##

笔者就以下图作为例子进行说明：

![b1aae8f3bbf644ec8521858b9f59b472.png][]

*  **结点的度：**一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
 *  **树的度：**一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
 *  **叶子结点或终端结点：**度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点
 *  **双亲结点或父结点：**若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
 *  **孩子结点或子结点：**一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
 *  **根结点：**一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
 *  **结点的层次：**从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
 *  **树的高度或深度：**树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4
 *  **非终端结点或分支结点：**度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点
 *  **兄弟结点：**具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
 *  **堂兄弟结点：**双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
 *  **结点的祖先：**从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
 *  **子孙：**以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
 *  **森林：**由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

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## 三.二叉树的概念 ##

**二叉树是一种常见的树状数据结构**，在二叉树中，**每个节点最多有两个子节点**，分别称为**左子节点**和**右子节点**。二叉树的特点是每个节点最多只有两个子节点，且子节点的位置是有序的，即左子节点在右子节点之前。

**二叉树可以为空**，如果一个二叉树不为空，则它一定由**根节点**、**左子树**和**右子树**组成。每个节点都有一个值，可以是任意类型的数据。

![f965ede60ef74b709f0a99898cbdd773.png][]

**二叉树也可以只有一个节点**，如下图所示，根节点不为空，但是左子树和右子树为空，这样的二叉树也是允许存在的

![34988a3a3fe94033b2e216c9336099c5.png][]

**总的来说，对于任意一颗二叉树，它都是由以下几部分复合而成的**：

![5f62fccf2732479dab5a00c2ad92d7f2.png][]

二叉树可以用来表示许多实际问题，例如计算机科学中的排序和搜索算法。在二叉树中，有一些特殊的类型，如满二叉树、完全二叉树和平衡二叉树等。二叉树还可以通过遍历算法来访问其中的节点，最常见的遍历算法有前序遍历、中序遍历和后序遍历。

二叉树中还有以下俩个常见的特殊的二叉树

### 满二叉树 ###

一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为**k** ，且结点总数是 ![2^\{k\}-1][2_k_-1]，则它就是满二叉树。

![dd9a0ba276c241bcad5f4db4318aa417.png][]

### 完全二叉树 ###

完全二叉树是由满二叉树而引出来的，对于深度为 **k** 的，有 **n** 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为**k** 的满二叉树中编号从**0**至**n-1**的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

![10b52c08a81d4fffb7fc03bc6e9c0d7e.png][]

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## 四.二叉树的性质 ##

1.  若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第 **i** 层上最多有![2^\{i-1\}][2_i-1]个节点
2.  若规定只有根结点的二叉树的深度为 **1** ，则深度为K的二叉树的最大结点数是![2^\{k\}-1][2_k_-1]
3.  对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0 , 度为2的非叶结点个数为 **n2** ,则有 **n0＝n2＋1** 
4.  具有 **n** 个结点的完全二叉树的深度 **k** 为![\\log \_\{2\}^\{\}\\textrm\{\}(n+1)][log _2_textrm_n_1]
5.  对于具有 **n** 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为 **i** 的结点有：若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点；若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子；若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩

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## 五.二叉树的存储 ##

对于任意一个节点，我们最多只能知道它的左右孩子节点和根节点，以及自己保存的数据，由此我们引申出许多种表示二叉树的方法，常见的有**孩子表示法**，**孩子双亲表示法**，**兄弟节点表示法**...

![0c3fa1f77ab14aa1ae9dc24da9ce70f8.png][]

// 孩子表示法
    class Node {
        int val; // 数据域
        Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
        Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    }
    
    // 孩子双亲表示法
    class Node {
        int val; // 数据域
        Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
        Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
        Node parent; // 当前节点的根节点
    }

笔者以下图举例：

![37cf28920683474cae5d841a5580d1f0.png][]

我们使用孩子表示法，然后依次按照图示组成一颗二叉树（后文的遍历都是基于此树）

public class MyBinaryTree {
        public class TreeNode {
            public char val;//记录当前节点的值
            public TreeNode leftNode;//记录当前节点的左孩子节点
            public TreeNode rightNode;//记录当前节点的右孩子节点
            public TreeNode(char val) {//初始化节点的值
                this.val = val;
            }
        }
        //生成每一个节点,然后连起来
        public TreeNode CreatTree() {
            TreeNode A = new TreeNode('A');
            TreeNode B = new TreeNode('B');
            TreeNode C = new TreeNode('C');
            TreeNode D = new TreeNode('D');
            TreeNode E = new TreeNode('E');
            TreeNode F = new TreeNode('F');
            TreeNode G = new TreeNode('G');
            TreeNode H = new TreeNode('H');
            //依次按照图示连起来
            A.leftNode = B;
            A.rightNode = C;
            B.leftNode = D;
            C.leftNode = E;
            C.rightNode = F;
            //最后返回根节点
            return A;
        }
    }

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## 六.二叉树的遍历 ##

二叉树的遍历是指按照一定的规则，将二叉树中的所有节点访问一次，并且每个节点只访问一次。常见的二叉树遍历方式有**前序遍历**、**中序遍历**和**后序遍历**。

### 前序遍历 ###

**前序遍历（preorder traversal）**：先访问根节点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。具体步骤如下：

1.  访问根节点
2.  前序遍历左子树
3.  前序遍历右子树

代码实现如下：

//前序遍历
        public void preOrder(TreeNode root) {
            if (root == null) {
                return;//空树不需要遍历
            }
            System.out.print(root.val + " ");//访问根节点
            preOrder(root.leftNode);//前序遍历左子树
            preOrder(root.rightNode);//前序遍历右子树
        }

对于上述的代码，程序运行起来的具体逻辑是如下图这样的，反复的递归和回退进行实现

![2a3ea8c2053c47a3999cbd6e9fc0d7c4.png][]

### 中序遍历 ###

**中序遍历（inorder traversal）**：先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树。具体步骤如下：

1.  中序遍历左子树
2.  访问根节点
3.  中序遍历右子树

代码实现如下：

//中序遍历
        public void inOrder(TreeNode root) {
            if (root == null) {
                return;//空树不需要遍历
            }
            inOrder(root.leftNode);//中序遍历左子树
            System.out.print(root.val + " ");//访问根节点
            inOrder(root.rightNode);//中序遍历右子树
        }

### 后序遍历 ###

**后序遍历（postorder traversal）**：先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根节点。具体步骤如下：

1.  后序遍历左子树
2.  后序遍历右子树
3.  访问根节点

代码实现如下：

//后序遍历
        public void postOrder(TreeNode root) {
            if (root == null) {
                return;//空树不需要遍历
            }
            postOrder(root.leftNode);//后序遍历左子树
            postOrder(root.rightNode);//后序遍历右子树
            System.out.print(root.val + " ");//访问根节点
        }

我们可以写个测试来看看遍历的结果：

public class Test {
        public static void main(String[] args) {
            MyBinaryTree myBinaryTree = new MyBinaryTree();
            MyBinaryTree.TreeNode rootNode = myBinaryTree.CreatTree();
            
            System.out.println();
            System.out.println("前序遍历：");
            myBinaryTree.preOrder(rootNode);
            
            System.out.println();
            System.out.println("中序遍历:");
            myBinaryTree.inOrder(rootNode);
            
            System.out.println();
            System.out.println("后序遍历:");
            myBinaryTree.postOrder(rootNode);
        }
    }

输出：

![e3036061c8d440afa4f5808e52b7dfc6.png][]

也就是说：

![064d1d51c1ef43b6814df3f7eac9e135.png][]

> 其实不管是前序，中序，后序遍历，他们整体的搜索过程都是一样的，不同的地方在于对当前根节点的处理时间不一样：前序遍历是先处理根节点；中序遍历是先遍历当前节点的左子树再处理当前根节点；而后序遍历则是最后再处理根节点，就像下图一样

![2ebed1cde95246a292c34f8c4951f3c9.png][]

以上是三种最基本的二叉树遍历方式。除了这三种，还有一些其他的二叉树遍历方式，比如**层序遍历**、**螺旋遍历**等。不同的遍历方式适用于不同的场景和问题，可以根据具体的需求选择合适的遍历方式。

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![b4e223eb39274c4790c1accda528968f.png][] **本次的分享就到此为止了，希望我的分享能给您带来帮助，也欢迎大家三连支持，你们的点赞就是博主更新最大的动力！**![dee54f8cb32a413fb28d115ba29feb97.png][]**如有不同意见，欢迎评论区积极讨论交流，让我们一起学习进步！**![08cf81c9e3f84f6fb5e5805897ac6d8e.png][]**有相关问题也可以私信博主，评论区和私信都会认真查看的，我们下次再见**![08cf81c9e3f84f6fb5e5805897ac6d8e.png][]

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