二进制与十进制数互相转换的方法及原理

我会带着你远行 2024-02-18 12:54 77阅读 0赞

## 二进制与十进制数互相转换的方法及原理 ##

有人问我一道十进制数转化为二进制数的题：13.625转化为二进制应该如何表示。让我回忆起十多年前学编程时就搞不懂二进制，不找“不必求甚解”的借口，我搜索了一些平台，但很失望，这么多年过去了，能找到的资源依然和以前一样，只讲怎样操作，不提为什么这样操作。让读者、学习的人知其然，不知其所以然。

也可能“大神”们认为，二进制与十进制数互相转换的方法告诉你后，你很容易就理解背后的原理了。在知乎上看到吐槽高校的教材编写质量的文章有很多，才知道实际上大部分人和我一样，都没有这样高的悟性。

文科学习中，读书时“不求甚解”是古人留给我们的学习经验，晋朝陶渊明在《五柳先生传》中说“好读书，不求甚解，每有会意，欣然忘食”。理工科的学习中，貌似应该摒弃此种读书的方法，应该把细节搞清楚，不留隐患。

找不到资源，或者不想用大量时间去找了，求人不如求己，索性自己琢磨，自己成为资源的提供方。

先简单科普下二进制，再说二进制与十进制数互相转换的方法，然后给出二进制与十进制数互相转换的原理。

二进制就是逢二进一，仅有两个数字0和1。有人说二进制源自1679年德国数学家莱布尼茨的思考，有人说源自中国的太极生两仪，两仪生四象，四项生八卦。但深刻、广泛的应用二进制，要到计算机的诞生，因为计算机只认识两个数字0和1，让电子元件保持两个稳定状态比如有电压、无电压，容易做到，可让电子元件保持10个稳定状态很难。所以，现在世界上的所有计算机，手机的内部运算使用的都是二进制数。

武断了，曾经有个很强大的国家叫苏联，制造出用三进制运算的计算机，据说苏联的数学家理论上证明过e进制运算是最高效的，三比二更接近e，实践也证明三进制计算机确实比二进制计算机更高效。各种原因，很遗憾，我们没有见过，用过三进制计算机。

十进制数和二进制数的前几个数对应表如下：

![图片][829b7c0f140eb080c0757c3574a5b523.png]

下面举具体例子说明十进制数和二进制数互相转化的方法

![图片][025f81e6991c39a8952437299f87e73b.png]

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![图片][b2c3ad00043b9075a0e24c406ffb12c9.png]

所以，最开始的问题，13.625化为二进制数的方法如下图：

![图片][d4475e2ff021973c9cb035aed719bbea.png]

下面讲转化的原理：

首先说明一下数位的含义。古罗马人用字母V表示5，字母 I 表示1，但 VI 并非表示51，大概那个年代还没有数位的概念，所以VI表示5+1=6，同理X表示10，但IX也不是110，IX=10-1=9。以下图的表盘为证

![图片][ae5554e3a2fb3c8f854aab6970860a29.jpeg]

我们现在书写数字的习惯是按数位理解的，51中的5在十位上，表示50，1在个为上，表示1。51=50+1

再例如5834表示5千+8百+3十+4，把千，百表示数位的字换成科学计数，如下图

![图片][fca1f3bb8711efe11e6b7110b16dad8e.png]

同理，二进制数1101的第一个1（最高位上的1）不是在千位（103）上，而是在23位上；第二个1，不是在百位上，是在“4”位上。

![图片][d3b555df178c0a847709a1c347650290.png]

小数的数位翻译如下图

![图片][075d624ec622c74434bdd1ea3289603f.png]

所以，二进制的整数或者小数转化为十进制数时，把每个数位上的0或1乘以对应的数位，再把积相加即可。

十进制的整数或者小数化为二进制数，看上面给的方法就很难，其原理用语言表达出来，想要严谨、简洁也很难。这里我就不试着表达了，用算式表达我的思考过程吧。

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十进制整数化为二进制整数不用上面的待定系数法了，直接类比法得到，如下图

![图片][a9a16d2f799da901bb4f7e352988ec3b.png]

仿照得到5、8、3、4的方法，类比得：

![图片][11c1d53e67818bbc9893aca8718b5443.png]

把上面的两个推理写的形式再简洁一些

![图片][088848d76dbcea96b1ca25279a16f911.png]

如果上面的没有看懂，不用沮丧，因为我上面说的理工科学习应该摒弃“不求甚解”的观点，逻辑上好像有道理，可在实践中是不成立的。任何人都不可能短时间掌握真理的所有细节。光是波还是粒子，科学家们争论了很多年；飞机都已经在天上飞了很多年，自行车我们基本都会骑行，但飞机和自行车的原理科学家们直到现在也不能给出完美解释。

看任何书，都可以不求甚解，对学习来说，最重要的是，每有会意，欣然忘食。

们争论了很多年；飞机都已经在天上飞了很多年，自行车我们基本都会骑行，但飞机和自行车的原理科学家们直到现在也不能给出完美解释。

看任何书，都可以不求甚解，对学习来说，最重要的是，每有会意，欣然忘食。

如果上面的没有看懂，不用沮丧，也可能是因为我写的水平太差，并非你的悟性不好。最重要的是，每有会意，欣然忘食。

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