数值积分的梯形逼近及误差分析

小咪咪 2024-02-18 17:28 31阅读 0赞

**数值积分的梯形逼近及误差分析**

引入梯形逼近的原因是，在求解一些函数的反导数时候，过程极为复杂甚至可能就不可能有简单的数学表达式，那么就需要把函数f的积分切成n个连续的小梯形，计算这n个连续的小梯形的黎曼和，从而得到积分。  
如图：  
![20180103101017629][]  
在区间\[a,b\]，把这段区间切分成等长为h的若干个小梯形，那么可以把\[a,b\]的积分：  
![20180103101027997][]  
转换为求解这些梯形面积和的问题。梯形的面积计算无疑非常简单：

![20180103101041483][]

h=(b-a)/n  
显然梯形逼近是一种大致数值逼近，必然存在误差T：  
![20180103101149732][]  
给出一个评估误差的公式，若f’’连续并且M是|f’’|的值在\[a,b\]上的一个上界，那么  
![20180103101113275][]  
其中h=(b-a)/n  
假设f(x)=x^3，那么在区间\[1,2\]，则M=6\*x=6 \* 2=12，h=(2-1)/n=1/n  
  
除了梯形逼近外，在数值积分的逼近方法中还有抛物线逼近。这两种方法可能会给使用者一个错觉，认为步进值取的越小，越精确，事实上完全相反，当取的步进值过于小时候，反而逼近的结果令人失望，原因是步进值很小，划分的块太小，导致每一块的误差累积起来，产生了更大的误差。

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