二叉树创建、遍历、特点及术语等（C++）

雨点打透心脏的1/2处 2024-05-04 08:12 53阅读 0赞

(特别声明：非原创，文末有原文链接)

**目录**

二叉树

特点

性质

二叉树的创建

声明

创建

成员运算符->

批量创建

完全二叉树的创建

打印二叉树

普通二叉树的创建

二叉树的遍历

层序遍历

先序遍历

中序遍历

后序遍历

递归法

前中后序对比

DFS遍历

树的相关术语

特殊二叉树

满二叉树

完全二叉树

完全二叉树性质：

--------------------

## 二叉树 ##

树（Tree）是n(n≥0)个节点的有限集。在任意一棵树中有且仅有一个特定的称为根（Root）的节点；当n＞1时，其余节点可分m(m＞0)为个互不相交的有限集T1,T2,...,Tm；其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。

二叉树（Binary Tree）是一种特殊的有序树型结构，所有节点最多只有2棵子树。

### 特点 ###

（1）每个节点至多有两棵子树；  
（2）二叉树的子树有左右之分；  
（3）子树的次序不能任意颠倒（有序树）。

### 性质 ###

（1）二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个节点（i≥1）。  
（2）深度为h的二叉树中至多含有2^h-1个节点(h≥1)。  
（3）若在任意一棵二叉树中，有n0个叶子节点，有n2个度为2的节点，则必有n0=n2+1。  
（4）具有n个节点的满二叉树深为log2n+1。  
（5）若对一棵有n个节点的完全二叉树进行顺序编号（1≤i≤n），  
那么，对于编号为i（i≥1）的节点：  
　　当i=1时，该节点为根，它无双亲节点。  
　　当i>1时，该节点的双亲节点的编号为i/2。  
　　若2i≤n，则有编号为2i的左节点，否则没有左节点。  
　　若2i+1≤n，则有编号为2i+1的右节点，否则没有右节点。

## 二叉树的创建 ##

### 声明 ###

> struct TreeNode \{  
> int val;  
> TreeNode\* left;  
> TreeNode\* right;  
> TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) \{\}  
> \};

在C/C++语言中，经常使用 NULL 来表示空指针。

NULL在头文件里的定义：

> \#ifndef NULL  
> \#ifdef \_\_cplusplus  
> \#define NULL 0  
> \#else  
> \#define NULL ((void \*)0)  
> \#endif  
> \#endif

即在 C++中，NULL 被定义为整形常量 0，而在 C 中，被定义为无类型指针常量 (void\*) 0 。

C++11标准增加了新的关键字 nullptr，表示空指针。

建议使用C++11及以上版本的用以下的二叉树声明：

> struct TreeNode \{  
> int val;  
> TreeNode\* left;  
> TreeNode\* right;  
> TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) \{\}  
> \};

###    创建 ###

#include <iostream>
     
    struct TreeNode {
        int val;
        TreeNode* left;
        TreeNode* right;
        TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
    };
     
    int main() {
        
        TreeNode* root = new TreeNode(1);
        root->left = new TreeNode(2);
        root->right = new TreeNode(3);
        root->right->left = new TreeNode(4);
        root->right->right = new TreeNode(5);
     
        return 0;
    }

创建结果：

![12b64c8ef5f7447586774e2597cdfdf1.png][]

###  ###

### 成员运算符-> ###

指向结构体或对象的指针访问其内成员。当一个指针指向一个结构体、对象时，称之为结构体指针或对象指针。结构体指针或对象指针中的值是所指向的结构体或对象的首地址。通过结构体指针或对象指针即可访问该结构体或对象。

结构体指针变量定义的一般形式为：

> struct 结构体类型名 \*指针名; //结构体指针  
> struct 结构体类型名 \*指针名 = &一个结构体的名字; //结构体指针并赋初值  
> struct 结构体类型名 \*指针名 = new struct 结构体类型名; //结构体指针并用new申请内存  
> struct 结构体类型名 \*指针名 =(struct 结构体类型名 \*)malloc(sizeof(struct 结构体类型名))  
> //结构体指针并用malloc申请内存 使用应包含头文件stdlib.h

子树root->left, root->right 还可以 . 运算表示，也是成员运算符。两者的区别：

点运算符 . 左边必须用 \* 寻址运算符取到指针root指向的结构或者对象实体，如(\*root)；对比箭头状的成员运算符 -> ，其左边必须为结构体指针，如root。

> TreeNode\* root = new TreeNode(1);  
> (\*root).left = new TreeNode(2);  
> (\*root).right = new TreeNode(3);  
> (\*(\*root).right).left = new TreeNode(4);  
> (\*(\*root).right).right = new TreeNode(5);

###    批量创建 ###

上例只是创建5节点，如要建更多节点，这样一个一个增加节点写起来复杂；可以用数组或容器等可迭代数据类型批量来创建。

#### 完全二叉树的创建 ####

![b158215bf77d4de98506142455d85534.png][]  
代码：

创建后，可以用代码把二叉树打印出来以供验证：

#### 打印二叉树 ####

#include <iostream>
    #include <vector>
    using namespace std;
     
    struct TreeNode
    {
        int val;
        TreeNode *left;
        TreeNode *right;
        TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
    };
     
    TreeNode* buildTree(vector<int>& nums)
    {
        if (nums.empty()) return nullptr;
        TreeNode *root = new TreeNode(nums.front());
        vector<TreeNode*> q = {root};
        int i = 1;
        while(!q.empty() && i < nums.size())
        {
            TreeNode *cur = q.front();
            q.assign(q.begin() + 1, q.end());
            if(i < nums.size())
            {
                cur->left = new TreeNode(nums[i++]);
                q.push_back(cur->left);
            }
            if(i < nums.size())
            {
                cur->right = new TreeNode(nums[i++]);
                q.push_back(cur->right);
            }
        }
        return root;
    }
     
    void levelOrderPrint(TreeNode* root)
    {
        if(!root) return;
        vector<TreeNode*> q = {root};
        while(!q.empty())
        {
            int size = q.size();
            for(int i = 0; i < size; i++)
            {
                TreeNode *cur = q.front();
                q.assign(q.begin() + 1, q.end());
                cout << cur->val << " ";
                if(cur->left)
                    q.push_back(cur->left);
                if(cur->right)
                    q.push_back(cur->right);
            }
            cout << endl;
        }
    }
     
    int main()
    {
        vector<int> nums;
        for (int i = 0; i < 15; i++)
            nums.push_back(i+1);   
        TreeNode *root = buildTree(nums);
        levelOrderPrint(root);
     
        return 0;
    }

输出：

1  
2 3  
4 5 6 7  
8 9 10 11 12 13 14 15

逐个打印二叉树节点的过程，称为遍历，稍后再讲。

#### 普通二叉树的创建 ####

如下这棵树比上面的树少了3个节点：

![4377eb1ce05849429b2f7295ecb58e07.png][]

空结点一般用null描述，如：\{1,2,3,4,5,6,7,8,null,10,11,null,13,null,15\}。

为了不改变数组的描述，用最小负整数来定义null： \#define null INT\_MIN

**代码：**

增加对空节点的判断 if(i < nums.size() && nums\[i\] != null)

#include <iostream>
    #include <vector>
    #include <queue>
    #define null INT_MIN
    using namespace std;
     
    struct TreeNode
    {
        int val;
        TreeNode *left, *right;
        TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
    };
     
    TreeNode* buildTree(vector<int>& nums)
    {
        if (nums.empty()) return nullptr;
        TreeNode *root = new TreeNode(nums.front());
        queue<TreeNode*> q;
        q.push(root);
        int i = 1;
        while(!q.empty() && i < nums.size())
        {
            TreeNode *cur = q.front();
            q.pop();
            if(i < nums.size() && nums[i] != null)
            {
                cur->left = new TreeNode(nums[i]);
                q.push(cur->left);
            }
            i++;
            if(i < nums.size() && nums[i] != null)
            {
                cur->right = new TreeNode(nums[i]);
                q.push(cur->right);
            }
            i++;
        }
        return root;
    }
     
    void levelOrder(TreeNode* root)
    {
        if(!root) return;
        queue<TreeNode*> q;
        q.push(root);
        while(!q.empty())
        {
            int size = q.size();
            for(int i = 0; i < size; i++)
            {
                TreeNode *cur = q.front();
                q.pop();
                cout << cur->val << " ";
                if(cur->left)
                    q.push(cur->left);
                if(cur->right)
                    q.push(cur->right);
            }
            cout << endl;
        }
    }
     
    int main()
    {
        vector<int> nums = {1,2,3,4,5,6,7,8,null,10,11,null,13,null,15};
        TreeNode *root = buildTree(nums);
        levelOrder(root);
        
        return 0;
    }

输出：

1  
2 3  
4 5 6 7  
8 10 11 13 15

以上代码，直接用队列 queue来存放二叉树各节点的指针，queue有队列操作的专用内置方法pop和push，所以要比在前一例中用vector模拟的队列操作要稍微方便一点。

注：二叉树的遍历，如

用队列操作的一般是广度优先遍历 （BFS，Breath First Search）

而用栈操作的一般是深度优先遍历 （DFS，Depth First Search）

## 二叉树的遍历 ##

指如何按某种搜索路径巡防树中的每个结点，使得每个结点均被访问一次，而且仅被访问一次。  
常见的遍历方法有：**层序遍历，先序遍历，中序遍历，后序遍历**。

### 层序遍历 ###

若二叉树为空，为空操作；否则从上到下、从左到右按层次进行访问。

遍历结果： 1 \[2 3\] \[4 5 6 7\] \[8 9 10 11 12 13 14 15\]

![22c47bff12da43a6919eba1b8f89f96b.png][]  
层序遍历的BFS代码在上面的打印二叉树章节已放出，这里放上我见过的一种用递归法写的二叉树层序遍历：

#include <iostream>
    #include <vector>
    #include <queue>
    #define null INT_MIN
    using namespace std;
     
    struct TreeNode
    {
        int val;
        TreeNode *left, *right;
        TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
    };
     
    TreeNode* buildTree(vector<int>& nums)
    {
        if (nums.empty()) return nullptr;
        TreeNode *root = new TreeNode(nums.front());
        queue<TreeNode*> q;
        q.push(root);
        int i = 1;
        while(!q.empty() && i < nums.size())
        {
            TreeNode *cur = q.front();
            q.pop();
            if(i < nums.size() && nums[i] != null)
            {
                cur->left = new TreeNode(nums[i]);
                q.push(cur->left);
            }
            i++;
            if(i < nums.size() && nums[i] != null)
            {
                cur->right = new TreeNode(nums[i]);
                q.push(cur->right);
            }
            i++;
        }
        return root;
    }
     
    int countNodesAtLevel(TreeNode* root, int level)
    {
        if(root == nullptr) return 0;
        if(level == 0) return 1;
        return countNodesAtLevel(root->left, level - 1) + countNodesAtLevel(root->right, level - 1);
    }
     
    TreeNode* getNodeAtLevel(TreeNode* root, int level, int index)
    {
        if(root == nullptr) return nullptr;
        if(level == 0)
        {
            if(index == 0) return root;
            else return nullptr;
        }
        TreeNode *left = getNodeAtLevel(root->left, level - 1, index);
        if(left != nullptr) return left;
        return getNodeAtLevel(root->right, level - 1, index - countNodesAtLevel(root->left, level - 1));
    }
     
    void levelOrder(TreeNode* root)
    {
        int level = 0;
        while(true)
        {
            int cnt = countNodesAtLevel(root, level);
            if(cnt == 0) break;
            for(int i = 0; i < cnt; i++)
            {
                TreeNode *node = getNodeAtLevel(root, level, i);
                cout << node->val << " ";
            }
            cout << endl;
            level++;
        }
    }
     
    int main()
    {
        vector<int> nums = {1,2,3,4,5,6,7,8,null,10,11,null,13,null,15};
        TreeNode *root = buildTree(nums);
        levelOrder(root);
        
        return 0;
    }

### 先序遍历 ###

若二叉树为空，为空操作；  
否则（1）访问根节点；（2）先序遍历左子树；（3）先序遍历右子树。

遍历结果： 1 \[2 \[4 8 9\] \[5 10 11\]\] \[3 \[6 12 13\] \[7 14 15\] “根左右”

![df6efcedaa144823b64d634e758a0b82.png][]

### 中序遍历 ###

若二叉树为空，为空操作；  
否则（1）中序遍历左子树；（2）访问根结点；（3）中序遍历右子树。

遍历结果： \[\[8 4 9\] 2 \[10 5 11\]\] 1 \[\[12 6 13\] 3 \[14 7 15\]\] “左根右”

![decb791e6d694d9297a062be7a8efb3d.png][]

### 后序遍历 ###

若二叉树为空，为空操作；  
否则（1）后序遍历左子树；（2）后序遍历右子树；（3）访问根结点。

遍历结果： \[\[8 9 4\] \[10 11 5\] 2\] \[\[12 13 6\] \[14 15 7\] 3\] 1 “左右根”

![b704e9e75b73481b8ec0444117d534f5.png][]

#### 递归法 ####

#include <iostream>
    #include <vector>
    #include <queue>
    #define null INT_MIN
    using namespace std;
     
    struct TreeNode
    {
        int val;
        TreeNode *left, *right;
        TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
    };
     
    TreeNode* buildTree(vector<int>& nums)
    {
        if (nums.empty()) return nullptr;
        TreeNode *root = new TreeNode(nums.front());
        queue<TreeNode*> q;
        q.push(root);
        int i = 1;
        while(!q.empty() && i < nums.size())
        {
            TreeNode *cur = q.front();
            q.pop();
            if(i < nums.size() && nums[i] != null)
            {
                cur->left = new TreeNode(nums[i]);
                q.push(cur->left);
            }
            i++;
            if(i < nums.size() && nums[i] != null)
            {
                cur->right = new TreeNode(nums[i]);
                q.push(cur->right);
            }
            i++;
        }
        return root;
    }
     
    void preOrderTraversal(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr) {
                return;
        }
        cout << root->val << " ";
        preOrderTraversal(root->left);
        preOrderTraversal(root->right);
    }
     
    void inOrderTraversal(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr) {
                return;
        }
        inOrderTraversal(root->left);
        cout << root->val << " ";
        inOrderTraversal(root->right);
    }
     
    void postOrderTraversal(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr) {
                return;
        }
        postOrderTraversal(root->left);
        postOrderTraversal(root->right);
        cout << root->val << " ";
    }
     
    int main()
    {
        vector<int> nums;
        for (int i = 0; i < 15; i++)
            nums.push_back(i+1);
        TreeNode *root = buildTree(nums);
        preOrderTraversal(root);
        cout << endl;
        inOrderTraversal(root);
        cout << endl;
        postOrderTraversal(root);
        cout << endl;
        
        return 0;
    }

输出：

> 1 2 4 8 9 5 10 11 3 6 12 13 7 14 15  
> 8 4 9 2 10 5 11 1 12 6 13 3 14 7 15  
> 8 9 4 10 11 5 2 12 13 6 14 15 7 3 1

#### 前中后序对比 ####

遍历时核心代码的顺序是关键，就是上面讲过的用“根左右”“左根右”“左右根”记忆，看根节点的左右子树节点的位置比较：

> **根左右——前序**  
> cout << root->val << " ";  
> preOrderTraversal(root->left);  
> preOrderTraversal(root->right);
> 
> **左根右——中序**  
> inOrderTraversal(root->left);  
> cout << root->val << " ";  
> inOrderTraversal(root->right);
> 
> **左右根——后序**  
> postOrderTraversal(root->left);  
> postOrderTraversal(root->right);  
> cout << root->val << " ";

遍历除了直接打印节点外，还可以把各节点值域存入数组，以中序为例：

vector<int> inorderTraversal(TreeNode* root) {
        vector<int> res;
        inorderTraversal(root, res);
        return res;
    }
    void inorderTraversal(TreeNode* root, vector<int>& res) {
        if (root == nullptr) {
            return;
        }
        inorderTraversal(root->left, res);
        res.push_back(root->val);
        inorderTraversal(root->right, res);
    }

####    DFS遍历 ####

DFS会用到<stack>，直接打印版：

#include <iostream>
    #include <vector>
    #include <queue>
    #include <stack>
    #define null INT_MIN
    using namespace std;
     
    struct TreeNode
    {
        int val;
        TreeNode *left, *right;
        TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
    };
     
    TreeNode* buildTree(vector<int>& nums)
    {
        if (nums.empty()) return nullptr;
        TreeNode *root = new TreeNode(nums.front());
        queue<TreeNode*> q;
        q.push(root);
        int i = 1;
        while(!q.empty() && i < nums.size())
        {
            TreeNode *cur = q.front();
            q.pop();
            if(i < nums.size() && nums[i] != null)
            {
                cur->left = new TreeNode(nums[i]);
                q.push(cur->left);
            }
            i++;
            if(i < nums.size() && nums[i] != null)
            {
                cur->right = new TreeNode(nums[i]);
                q.push(cur->right);
            }
            i++;
        }
        return root;
    }
     
    void preOrderTraversal(TreeNode* root) {
        stack<TreeNode*> st;
        TreeNode* node = root;
        while (node != nullptr || !st.empty()) {
            while (node != nullptr) {
                cout << node->val << " ";
                st.push(node);
                node = node->left;
            }
            node = st.top();
            st.pop();
            node = node->right;
        }
    }
     
    void inOrderTraversal(TreeNode* root) {
        stack<TreeNode*> st;
        TreeNode* node = root;
        while (node != nullptr || !st.empty()) {
            while (node != nullptr) {
                st.push(node);
                node = node->left;
            }
            node = st.top();
            st.pop();
            cout << node->val << " ";
            node = node->right;
        }
    }
     
    void postOrderTraversal(TreeNode* root) {
        stack<TreeNode*> st;
        TreeNode* node = root;
        TreeNode* last = nullptr; // 上一次访问的节点
        while (node != nullptr || !st.empty()) {
            while (node != nullptr) {
                st.push(node);
                node = node->left;
            }
            node = st.top();
            if (node->right == nullptr || node->right == last) { 
                // 右子树为空或已经访问过
                cout << node->val << " ";
                st.pop();
                last = node; // 更新上一次访问的节点
                node = nullptr; // 继续弹出栈顶元素
            } else { // 右子树还未访问
                node = node->right;
            }
        }
    }
     
    int main()
    {
        vector<int> nums;
        for (int i = 0; i < 15; i++)
            nums.push_back(i+1);
        TreeNode *root = buildTree(nums);
        preOrderTraversal(root);
        cout << endl;
        inOrderTraversal(root);
        cout << endl;
        postOrderTraversal(root);
        cout << endl;
        
        return 0;
    }
    
    二叉树转数组，分别用DFS,BFS实现：
    
    vector<int> DFSinorderTraversal(TreeNode* root) {
        vector<int> res;
        stack<TreeNode*> st;
        while (root != nullptr || !st.empty()) {
            while (root != nullptr) {
                st.push(root);
                root = root->left;
            }
            root = st.top();
            st.pop();
            res.push_back(root->val);
            root = root->right;
        }
        return res;
    }
     
    vector<int> BFSinorderTraversal(TreeNode* root) {
        vector<int> res;
        queue<TreeNode*> q;
        if (root != nullptr) {
            q.push(root);
        }
        while (!q.empty()) {
            TreeNode* node = q.front();
            q.pop();
            if (node->left != nullptr) {
                q.push(node->left);
            }
            res.push_back(node->val);
            if (node->right != nullptr) {
                q.push(node->right);
            }
        }
        return res;
    }

## 树的相关术语 ##

**节点**：包含一个数据元素及若干指向其子树的分支，又的译成“结点”（Node）  
**根**：树和子树的“顶点”（Root）  
**度**：节点拥有的子树数量称为节点的度（Degree）；树的度是指树内个结点的度的最大值  
**分支节点**：度不为0的节点  
**叶子**：没有子树的节点，即它的度为0 （Leaf）  
**子节点**：结点的子树的根称为该节点的孩子（Child）  
**父节点**：对应子节点上一层(level)节点称为该节点的双亲（Parent）  
**兄弟结点**：同一父节点的子节点，互称兄弟（Sibling）  
**节点的祖先**：是从根到该结点所经分支上的所有节点  
**节点的子孙**：以某结点为根的子树中的所有节点  
**层**：从根开始，根为第一层，根的孩子为第二层...（Level）  
**深度**：树中结点的最大层次数，称为树的深度或高度 （Depth or Height）  
**森林**：是很多互不相交的树的集合（Forest）

**无序树**：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树  
**有序树**：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树  
**最大树（最小树）**：每个结点的值都大于（小于）或等于其子结点（如果有的话）值的树

## 特殊二叉树 ##

### 满二叉树 ###

所有层的节点都达到最大数量，叶子除外的所有节点都有两个子节点，所有叶子都在最底一层(k)且数目为2^(k - 1)。即深度k且有2^k - 1个节点(叶子“长”满最后一层)，或称完美二叉树 （Perfect Binary Tree）

![70c40e0c9c524de2b638da9a601f8571.png][]

####    完全二叉树 ####

如果删除最底一层的所有叶子它就是满二叉树，即除了最后一层，每层节点都达到最大数量 ，即有深度k的个节点数在左闭右开【2^(k-1)+1,2^k-1】区间内。（Complete Binary Tree）

![eb579b91fec24a6dbb28718a9a5c2b05.png][]

#### 完全二叉树性质： ####

1. 具有N个节点的完全二叉树的深度为\[log2 N\]+1，其中\[x\]为高斯函数，截尾取整。  
2. 如果对一棵有n个节点的完全二叉树的节点按层序编号（从第一层到最后一层，每层从左到右），则对任一节点，有：  
（1）如果i=1，则节点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1,则其双亲节点为\[i/2\]；  
（2）如果2i>n，则节点i无左孩子；否则其左孩子是节点2i；  
（3）如果2i+1>n，则节点i无右孩子；否则其右孩子是节点2i+1。  
  
原文链接：[C++实现的二叉树创建和遍历，超入门邻家小女也懂了\_c++二叉树的建立与遍历-CSDN博客][C_c_-CSDN]

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[C_c_-CSDN]: https://blog.csdn.net/boysoft2002/article/details/129409557