最小生成树 & 洛谷P3366【模板】最小生成树 & 洛谷P2820 局域网

迈不过友情╰ 2021-12-10 20:03 364阅读 0赞

### 嗯... ###

# #

## 理解生成树的概念： ##

### 在一幅图中将所有n个点连接起来的n-1条边所形成的树。 ###

## 最小生成树： ##

### 边权之和最小的生成树。 ###

## 最小瓶颈生成树： ##

### 对于带权图，最大权值最小的生成树。 ###

## 如何操作？ ##

### 1.Prim算法（O（mlogn）） ###

### 2.Kruskal算法（O（mlogn）） ###

###  推荐使用第二种，无需建图。 ###

## 算法流程： ##

### Prim算法：（思想类似dijkstra） ###

**　随意选取一个点作为已访问集合的第一个点，并将所有相连的边加入堆中**  
**　　从堆中找到最小的连接集合内和集合外点的边，将边加入最小生成树中**  
**　　将集合外点标记为已访问，并将相连边加入堆**  
**　　重复以上过程直到所有点都在访问集合中**

![1442044-20190427163450231-37613741.png][]![1442044-20190427163454708-910341617.png][]![1442044-20190427163458440-353736790.png][]![1442044-20190427163501507-1454588335.png][]![1442044-20190427163504382-1970331514.png][]![1442044-20190427163508317-1083863209.png][]

### Kruskal算法：（并查集思想） ###

**将边按照权值排序**  
**　　依次枚举每一条边，若连接的两点不连通则加入最小生成树中**  
**　　使用并查集维护连通性**  
![1442044-20190427163541636-2074072487.png][]![1442044-20190427163548042-578397647.png][]![1442044-20190427163554055-2023755627.png][]![1442044-20190427163559728-57008582.png][]![1442044-20190427163609842-896442940.png][]

## 模板代码： ##

![ContractedBlock.gif][] ![ExpandedBlockStart.gif][]

1 int f[101], h;
     2 struct node{
     3     int x, y, l;
     4 } a[100001];
     5 inline bool cmp(node i, node j){
     6     return i.l < j.l;
     7 }
     8 inline int find(int x){
     9     if(x != f[x])//本身是否为父亲节点
    10         f[x] = find(f[x]);
    11     return f[x];
    12 }//并查集操作
    13 int main(){
    14     for(int i = 1; i <= n; i++){
    15         f[i] = i;
    16     }//父节点初始化
    17     sort(a+1, a+k+1, cmp);//排序
    18     for(int i = 1; i <= k; i++){
    19         int r1 = find(a[i].x);
    20         int r2 = find(a[i].y);
    21         if(r1 != r2){
    22             f[r1] = r2;
    23         }
    24     }
    25 }

Kruskal

![ContractedBlock.gif][] ![ExpandedBlockStart.gif][]

#include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    int n,m,a,b,c;
    int sum;
    int g[1001][1001],minn[1001];
    bool u[1001]; 
    int main(){
        memset(g,0x7f,sizeof(g));
        memset(minn,0x7f,sizeof(minn));
        memset(u,true,sizeof(u));
        cin>>n>>m;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            cin>>a>>b>>c;
            g[a][b]=g[b][a]=c;
            sum+=c;
        }
        minn[1]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int k=0;
            for(int j=1;j<=n;j++)
            if(u[j]&&minn[j]<minn[k])
            k=j;  
            u[k]=false;
            for(int j=1;j<=n;j++)
            if(u[j]&&g[k][j]<minn[j])
            minn[j]=g[k][j];
        }
        int total=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) 
        total+=minn[i];
        cout<<sum-total<<endl;
        return 0;
    }

Prim

--------------------

## 模板题： ##

## 洛谷P3366【模板】最小生成树： ##

## 题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3366 ##

# #

## 思路：（Kruskal） ##

### 一道模板题，首先用一个结构体读入，然后初始化父节点，再按边权排序，然后用find函数分别找输入时的两个点的父节点，并判断其中一个是否是另一个的父亲，否则就进行合并，并将h+=a\[i\].l。（思路比较好理解） ###

![ContractedBlock.gif][] ![ExpandedBlockStart.gif][]

1 #include<cstdio>
     2 #include<iostream>
     3 #include<algorithm>
     4 
     5 using namespace std;
     6 
     7 int h, f[200005];
     8 
     9 struct node{
    10     int x, y, l;
    11 } a[200005];
    12 
    13 inline bool cmp(node i, node j){
    14     return i.l < j.l;
    15 }
    16 
    17 inline int find(int x){
    18     if(x != f[x])
    19         f[x] = find(f[x]);
    20     return f[x];
    21 }
    22 
    23 int main(){
    24     int n, m;
    25     scanf("%d%d", &n, &m);
    26     for(int i = 1; i <= n; i++){
    27         f[i] = i;
    28     }
    29     for(int i = 1; i <= m; i++){
    30         scanf("%d%d%d", &a[i].x, &a[i].y, &a[i].l);
    31         //h += a[i].l;
    32     }
    33     sort(a+1, a+m+1, cmp);
    34     for(int i = 1; i <= m; i++){
    35         int r1 = find(a[i].x);
    36         int r2 = find(a[i].y);
    37         if(r1 != r2){
    38             f[r1] = r2;
    39             h += a[i].l;
    40             //h -= a[i].l;
    41         }
    42     }
    43     printf("%d", h);
    44     return 0;
    45 }

AC代码

--------------------

## 洛谷P2820 局域网： ##

## 题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2820 ##

## 思路： ##

### 首先这道题的问法就很模板： ###

### 很显然“f(i,j)表示i,j之间连接的畅通程度”即为i到j点的权值；“除去一些连线，使得网络中没有回路，并且被除去网线的Σf(i,j)最大”很显然是求最小生成树。但注意一个细节，它与最小生成树有所不同，它要求的是Σf(i,j)最大。 ###

### 所以我们在最小生成树的模板上进行修改即可：读入时将所有的边权都加到h中。在判断父节点是否相同时，若不同，则将合并，并将合并的这条边的权值减掉即可。 ###

![ContractedBlock.gif][] ![ExpandedBlockStart.gif][]

1 #include<cstdio>
     2 #include<iostream>
     3 #include<algorithm>
     4 
     5 using namespace std;
     6 
     7 int f[101], h;
     8 
     9 struct node{
    10     int x, y, l;
    11 } a[100001];
    12 
    13 inline bool cmp(node i, node j){
    14     return i.l < j.l;
    15 }
    16 
    17 inline int find(int x){
    18     if(x != f[x])
    19         f[x] = find(f[x]);
    20     return f[x];
    21 }
    22 
    23 int main(){
    24     int n, k;
    25     scanf("%d%d", &n, &k);
    26     for(int i = 1; i <= n; i++){
    27         f[i] = i;
    28     }
    29     for(int i = 1; i <= k; i++){
    30         scanf("%d%d%d", &a[i].x, &a[i].y, &a[i].l);
    31         h += a[i].l;
    32     }
    33     sort(a+1, a+k+1, cmp);
    34     for(int i = 1; i <= k; i++){
    35         int r1 = find(a[i].x);
    36         int r2 = find(a[i].y);
    37         if(r1 != r2){
    38             f[r1] = r2;
    39             h -= a[i].l;
    40         }
    41     }
    42     printf("%d", h);
    43     return 0;
    44 }

AC代码

--------------------

## 大概就是这样，个人认为Kruskal算法比Prim算法写起来简单并好理解.... ##

转载于:https://www.cnblogs.com/New-ljx/p/10779353.html

[1442044-20190427163450231-37613741.png]: https://img2018.cnblogs.com/blog/1442044/201904/1442044-20190427163450231-37613741.png
[1442044-20190427163454708-910341617.png]: https://img2018.cnblogs.com/blog/1442044/201904/1442044-20190427163454708-910341617.png
[1442044-20190427163458440-353736790.png]: https://img2018.cnblogs.com/blog/1442044/201904/1442044-20190427163458440-353736790.png
[1442044-20190427163501507-1454588335.png]: https://img2018.cnblogs.com/blog/1442044/201904/1442044-20190427163501507-1454588335.png
[1442044-20190427163504382-1970331514.png]: https://img2018.cnblogs.com/blog/1442044/201904/1442044-20190427163504382-1970331514.png
[1442044-20190427163508317-1083863209.png]: /images/20211210/d8ca0ee0e6ea44ddaf079aacd994bcb6.png
[1442044-20190427163541636-2074072487.png]: https://img2018.cnblogs.com/blog/1442044/201904/1442044-20190427163541636-2074072487.png
[1442044-20190427163548042-578397647.png]: https://img2018.cnblogs.com/blog/1442044/201904/1442044-20190427163548042-578397647.png
[1442044-20190427163554055-2023755627.png]: https://img2018.cnblogs.com/blog/1442044/201904/1442044-20190427163554055-2023755627.png
[1442044-20190427163559728-57008582.png]: https://img2018.cnblogs.com/blog/1442044/201904/1442044-20190427163559728-57008582.png
[1442044-20190427163609842-896442940.png]: /images/20211210/4aee0ae6156344a5a71cb9d6d0775a2d.png
[ContractedBlock.gif]: https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif
[ExpandedBlockStart.gif]: /images/20211210/96c8e64d4d6046aca91d9d9b70f54183.png