扔鸡蛋问题-经典动态规划问题

雨点打透心脏的1/2处 2022-05-15 12:18 275阅读 0赞

题目  
一幢 100 层的大楼，给你2个鸡蛋，如果在第 n 层扔下鸡蛋，鸡蛋不碎，那么从第 n-1 层扔鸡蛋，都不碎。这两只鸡蛋一模一样，不碎的话可以扔无数次，且鸡蛋在0层不会碎。设计一种策略能保证可以测出鸡蛋恰好会碎的楼层，且如果该策略是最坏的情况所扔次数最少

# 一、[概述][Link 1] #

思维分析  
首先我们需要确定最坏情况是什么样子的。  
假设n是我们的决定第一次尝试的楼层，第一个鸡蛋从n层开始扔。

如果没有坏，那么我们就可以从\[n+1,100\]这个区间扔鸡蛋了，这个时候怎么扔就是我们需要考虑的策略。  
但是如果运气比较背，鸡蛋坏了\_!那么这个时候我们就只有一个鸡蛋了，所以为了满足我们要测出恰好会碎的楼层，我们只能从1楼一直扔到n-1楼。这个时候我们的最坏情况就是n次。  
鸡蛋没有坏该怎么选择第二次以及以后扔鸡蛋的策略呢？  
由于没有碎，所以第n层对于我们而言和第0层是一样一样的，所以我们不能采用一层一层增加的方式扔鸡蛋！因为有两个鸡蛋，比较任性。下面提出几个合理的假设，然后分析：

增加n层：碎了的话，最坏情况就是我们还要扔2n-n-1+2=n+1次，这个时候最坏情况比第一次还坏，而且照这个趋势下去，最坏情况只会越来越坏，是不可控的，所以这种策略抛弃。  
增加大于n层：和增加n层一样，如果第一个鸡蛋碎了那最坏情况就是越来越坏，且比增加n层更坏（可以自己做个简单的算术推导一下）。  
增加小于n层：随着n的不断减小，最坏情况下需要仍的次数恒定为n是不会变的（因为第一次就碎了，对于这种情况就是最坏情况）。那么我们需要考虑的是如何使扔的次数最少，想想看，果断取n-1，这样既保证了快速找到刚好碎的楼层，又保证了最坏情况扔的次数最少。  
所以我们最后的策略是增加n-1层。  
以上就是一个分析过程，对于第三次，第四次….都可以递归的进行分析。  
由于最好情况是第一个鸡蛋一直扔到了100层，而100层与n之间是有一个函数关系的，下面就可以列出一个等式：  
n+(n-1)+(n-2)+…+1=100=n(n+1)/2  
所以n约等于14  
所以第一次从第十四层开始扔，最坏情况就是第一次就碎了，然后需要从1楼开始一层一层的扔，共扔14次。

# 二、编程实现 #

import java.util.Scanner;
    
    public class Main {
    
        //(1)动态规划法: 该算法的空间复杂度是O(nk)，时间复杂度是O(nk^2) n表示鸡蛋数，k代表楼层数
        public static int  dropEggs(int eggs,int floors) {
            //第一步永远是创建动态规划的备忘录,也叫状态转移矩阵
            //记住：二维数组里的length是0-start的，又因为包含层数为0或鸡蛋为0的情况，所以定义行高和列宽的时候自然要加1
            int[][]dp=new int[eggs+1][floors+1];
    
            //第二步永远是考虑边界，也就是初始化动态规划的备忘录
            //先考虑eggs的边界
            for(int i=0;i!=floors+1;i++) {
                //首先是eggs=0的情况
                 dp[0][i]=0;
                //然后是eggs=1的情况
                //eggs=1的时候，肯定是从第0层一直往上实验
                 dp[1][i]=i;
            }
            //再考虑floors的边界
            for(int i=1;i!=eggs+1;i++) {
                //首先是floors=0的情况
                 dp[i][0]=0;
                //然后是floors=1的情况
                 dp[i][1]=1;
            }
            //第三步就是状态方程了
            //找递推过程中的两个紧邻步骤之间的关系，如何由子结果得到母结果
            //首先，鸡蛋要从2个开始算，因为0个和1个情况你已经考虑完了
            for(int egg=2;egg!=eggs+1;egg++) {
                //楼层有多高要从2层起步，因为0层和1层的情况你也考虑完了
                 for(int floor=2;floor!=floors+1;floor++) {
                    //看这里！这里就是你还有egg个鸡蛋，一共有floor层的子问题！
                    //这里定义一个变量来存储最终结果，找到在哪层扔能达到所扔次数最少的目标
                     int result=Integer.MAX_VALUE;
                     for(int drop=1;drop!=floor+1;drop++) {
                         //这里！就是在当前子问题中，你从第drop层扔鸡蛋的情况！
                        //第一种情况，哎呀~碎了！那么剩下的问题就转化成了如何在drop-1层，用egg-1个鸡蛋寻找最优
                         int broken=dp[egg-1][drop-1];
                         //第二种请看，卧槽~没碎！问题就转化成了如果再floos-drop层，用egg个鸡蛋寻找最优解
                         int unbroken=dp[egg][floor-drop];
                        //两种情况我肯定要取最大值，因为我根本不确定鸡蛋会不会碎，我特么又不是先知
                         int condition=Math.max(broken, unbroken)+1;
                        //不断的和上一次的结果做比较，只为得到最优的结果，最少的扔鸡蛋次数！
                         result=Math.min(condition, result);
                     }
                     //当前子问题（当我有egg个鸡蛋，一共有floor层时）已经for循环完了！撒花~~接下来，就是把结果存到我们的结果矩阵里了！
                     dp[egg][floor]=result;
                 }
            }
             //以上的步骤在不断的往状态矩阵（我把它称作装满结果的大盘子！）填充结果！到这里已经都填充完毕，我们自然就可以取到我们想要的结果啦
            return dp[eggs][floors];
        }
    
    
        //(2)公式法 递推公式法
        public static int  dropEggs2(int eggs,int floors) {
    
             int times = 1;  
    
            while(DroppingMax(eggs, times) < floors)  
            {  
                ++times;  
            }  
    
            return times; 
        }
        public static int DroppingMax( int eggs, int  times)  
        {  
            if(eggs == 1)  
            {  
                return times;  
            }  
    
            if(eggs >= times)  
            {  
                return (int)Math.pow(2, times) - 1;  
            }  
    
            return DroppingMax(eggs, times -1) + DroppingMax(eggs -1, times - 1) + 1;  
        }  
    
    
        public static void main(String[] args) {
         Scanner sin =new Scanner(System.in);
    
         while(sin.hasNext()) {
             String[]temp=sin.nextLine().split("\\s+");
             int eggs=Integer.parseInt(temp[0]);
             int floors=Integer.parseInt(temp[1]);
            // System.out.println(dropEggs(eggs,floors));
             System.out.println(dropEggs2(eggs,floors));
         }
    
     }
    }

![这里写图片描述][70]

[Link 1]: https://blog.csdn.net/joylnwang/article/details/6769160
[70]: /images/20220515/5078a1223ef54a86b03bd3f7d01d341e.png