二分图最小点覆盖König定理的简单证明

拼搏现实的明天。 2022-05-24 07:25 154阅读 0赞

König定理是一个二分图中很重要的定理，它的意思是，一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。如果你还不知道什么是最小点覆盖，我也在这里说一下：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边，你需要选择最少的点来覆盖所有的边。  
小白的我参考了好多网上的证明，迷迷糊糊算是明白了，决定从大牛手中的证明，加入自己的一些可以让人更加明白的见解！！！

![这里写图片描述][70]![这里写图片描述][70 1]  
假如我们已经通过匈牙利算法求出了最大匹配（假设它等于M），下面给出的方法可以告诉我们，选哪M个点可以覆盖所有的边。  
匈牙利算法需要我们**从右边的某个没有匹配的点（起始点）**，走出一条使得“一条没被匹配、一条已经匹配过，再下一条又没匹配这样交替地出现”的路（交错轨，增广路）。但是，现在我们已经找到了最大匹配，已经不存在这样的路了。换句话说，我们能寻找到很多可能的增广路，但最后都以找不到“终点是还没有匹配过的点”而失败。我们给所有经过这条路上点打上记号（如上图粗线）：从右边的所有没有匹配过的点出发，按照增广路的“交替出现”的要求可以走到的所有点（最后走出的路径是很多条不完整的增广路）。那么**右边没有打上记号的点，加上左边已经有记号的点**组成了最小覆盖点集：。看图，上图中展示了两条这样的路径，标记了一共6个点（用 “√”表示）。用红色圈起来的三个点就是我们的最小覆盖点集。  
首先，为什么这样得到的点集点的个数恰好有M个呢？答案很简单，因为最小覆盖点集里的每个点都是某个匹配边的其中一个端点。如果右边的哪个点是没有匹配过的，那么它早就当成起点被标记了；如果左边的哪个点是没有匹配过的，那就走不到它那里去（否则就找到了一条完整的增广路）。而一个匹配边又不可能左端点是标记了的，同时右端点是没标记的（不然的话右边的点就可以通过这条边到达了）。因此，最后我们圈起来的点与匹配边一一对应。  
其次，为什么这样得到的点集可以覆盖所有的边呢？答案同样简单。**不可能存在某一条边，它的左端点是没有标记的，而右端点是有标记的**。原因如下：如果这条边不属于我们的匹配边，那么左端点就可以通过这条边到达（从而得到标记）；如果这条边属于我们的匹配边，那么右端点不可能是一条路径的起点，于是它的标记只能是从这条边的左端点过来的（想想匹配的定义），左端点就应该有标记。  
最后，为什么这是最小的点覆盖集呢？这当然是最小的，不可能有比M还小的点覆盖集了，因为要覆盖这M条匹配边至少就需要M个点（再次回到匹配的定义）。

最后推荐大家学习匈牙利算法可以看这个文章，超级容易明白，简介明了  
[匈牙利算法][Link 1]

[70]: https://img-blog.csdn.net/20180523102646953?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM2MTcyNTA1/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70
[70 1]: /images/20220524/a3fd8a76da74459287aba503a4a6dec6.png
[Link 1]: https://blog.csdn.net/dark_scope/article/details/8880547