数据格式(定点表示浮点表示)

女爷i 2022-05-28 01:49 310阅读 0赞

计算机常用的数据表示格式有两种：

*  **定点**表示：小数点位置**固定**(数值范围**有限**)
 *  **浮点**表示：小数点位置**不固定**(数值范围**很大**)

#### 定点表示 ####

*  概念:所有数据的小数点位置固定不变
 *  表示方法:**符号位+量值**(尾数)
 *  特点:  
    数的范围受字长限制，表示数的范围有限;  
    计算机中多用**定点纯整数**表示,所以将定点数表示的运算简称为**整数运算**
 *  分类:理论上小数点位置可以任意，但实际上将数据表示成如下两种形式  
    
    
    1.  纯小数(小数点固定在量值最高位的左边,即符号位与量值之间)  
        表示范围(量值为n位时): 0≤|x|≤1−2−n  0 ≤ | x | ≤ 1 − 2 − n   
        ![定点纯小数][70]
    2.  纯整数(小数点固定在量值最低位的右边)  
        表示范围(量值为n位时): 0≤|x|≤2n−1  0 ≤ | x | ≤ 2 n − 1   
        ![定点纯整数][70 1]

#### 浮点表示 ####

*  概念:小数点位置随阶码不同而浮动
 *  表示方法:
    
     *  核心  
        任意一个二进制数N可以写成 N=2e.M  N = 2 e . M  (如同任意一个十进制数N可以写成N=10e.M  N = 10 e . M  )  
        其中 e  e  是浮点数的**指数**,M M 是浮点数的**尾数**,两者都是有符号的  
        指数= 阶符+阶码  
        尾数= 数符+尾数
     *  机器中的表示(早期的计算机中)  
        阶符+阶码+数符+尾数
     *  IEEE754标准(规定了浮点数的表示格式,运算规则等)  
        基数2是固定常数,故可不表示出来  
        尾数用原码,但**指数用移码**(便于对阶和比较,不需要判断符号位),指数的阶符被隐含在移码里面,故可不表示出来  
        浮点数的规格化表示: 当尾数的值不为0时,尾数域的最高有效位应为1(类似于0.011强制要求用1.1∗2−2  1.1 ∗ 2 − 2 表示),又因为最高位固定为1,即尾数域表示的值是1.M,故最高位的1也不予存储.  
        要除去E用全0和全1表示零和无穷大的情况,如本来是**0~255**则变成**1~254**  
        
        
         *  单精度(32位)  
            ![单精度][70 2]  
            
            
             *  **S**是数的**符号位**，**1位**，在最高位，“0”表示正数，“1”表示负数  
                尾数用原码表示,故符号规则同原码
             *  **M**是**尾数**， **23位**，在低位部分，采用纯小数表示  
                注意这里是规格化表示的,即23位字段实际存储24位有效数
             *  **E**是**阶码**，**8位**，采用移码表示。  
                真值e变为阶码E时加上固定的偏移量**127**,即**E=e\+127  E = e + 127**   
                移码比较大小方便,表示范围从**-126~+127**移动到**1~254**
         *  双精度(64位)  
            ![双精度][70 3]  
            
            
             *  **S**是数的**符号位**，**1位**，在最高位，“0”表示正数，“1”表示负数  
                尾数用原码表示,故符号规则同原码
             *  **M**是**尾数**， **52位**，在低位部分，采用纯小数表示  
                注意这里是规格化表示的,即52位字段实际存储53位有效数
             *  **E**是**阶码**，**11位**，采用移码表示。  
                真值e变为阶码E时加上固定的偏移量**1023**,即**E=e\+1023  E = e + 1023**   
                移码比较大小方便,表示范围从**-1022~+1023**移动到**1~2046**
 *  表示范围

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>单精度(32位)指数</th> 
   <th>单精度(32位)尾数</th> 
   <th>双精度(64位)指数</th> 
   <th>双精度(64位)尾数</th> 
   <th>表示的对象</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0(结合符号位有正零和负零之分)</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>0</td> 
   <td>非0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>非0</td> 
   <td>正负规格化数</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>1~254</td> 
   <td>任意数</td> 
   <td>1~2046</td> 
   <td>任意数</td> 
   <td>正负浮点数</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>255</td> 
   <td>0</td> 
   <td>2047</td> 
   <td>0</td> 
   <td>正负无穷</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>255</td> 
   <td>非0</td> 
   <td>2047</td> 
   <td>非0</td> 
   <td>不是一个数(NaN)</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

*  例1(十进制数转浮点数)  
    十进制(20.59375)10  ( 20.59375 ) 10 数 转换成 754标准的浮点数(32位)的二进制存储格式  
    
    
    1.  分别将整数和分数部分转换成二进制数  
        得 20.59375=10100.10011  20.59375 = 10100.10011 
    2.  移动小数点，使其在第1，2位之间(格式化浮点数,小数点在最高位的1后)  
        得 10100.10011=1.010010011×24  10100.10011 = 1.010010011 × 2 4 
    3.  由真值e加偏移量(32位为127,64位为1023)得阶码E  
        E=e\+127=4\+127=131=10000011  E = e + 127 = 4 + 127 = 131 = 10000011   
        S=0  S = 0   
        M=010010011  M = 010010011 
    4.  得32位浮点数的二进制存储格式(不满32位后面要补0)  
        0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000=(41A4C000)16  ( 41 A 4 C 000 ) 16 
 *  例2(浮点数转十进制数)  
    754标准存储格式为(41360000)16  ( 41360000 ) 16 的浮点数 转 十进制数  
    
    
    1.  将数展开,用二进制格式表示  
        得,0 100 00010 011 0110 0000 0000 0000 0000
    2.  根据对应位置,得  
        S=0  S = 0   
        e=E−127=10000010−01111111=00000011=(3)10  e = E − 127 = 10000010 − 01111111 = 00000011 = ( 3 ) 10   
        尾数补回隐藏位1,得  
        1.M=1.01101100000000000000000=1.011011  1. M = 1.011 0110 0000 0000 0000 0000 = 1.011011   
        故十进制数为  
        (−1)s×1.M×2e=\+(1.011011)×23=\+1011.011=(11.375)10  ( − 1 ) s × 1. M × 2 e = + ( 1.011011 ) × 2 3 = + 1011.011 = ( 11.375 ) 10

[70]: /images/20220528/c30e044bd5c04f90b087500bec41901e.png
[70 1]: /images/20220528/b216362e03da44fca6713b01e0922590.png
[70 2]: /images/20220528/ce82c3fe068a4e6c8c56bcde35b76d83.png
[70 3]: /images/20220528/897a6a89f3e849e38f53f484c54e2348.png