什么是补码，怎么求补码

太过爱你忘了你带给我的痛 2022-06-07 08:09 300阅读 0赞

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*   *  1 前言
     *  2 为什么要有补码？
     *  3 什么是补码？
     *  4 什么才是正真的补码？

## 1 前言 ##

我的上一篇文章谈论到在汇编语言中  
[为什么 SHL 和 SAL 相同，而 SHR 和 SAR 不同][SHL _ SAL _ SHR _ SAR]  
由此产生的疑惑更多了  
到底什么是符号位？ 进而补码又是什么？

## 2 为什么要有补码？ ##

理由很简单，**计算机内部只有加法器，并没有减法器**  
所以在计算机中，在我们人类眼中很简单的算术运算 `2 - 3 = -1`  
计算机是无法完成的，那么依照计算机只能做加法，很显然的想到了 `2 + (-3) = -1`  
因此数在计算机中必然要有特定的表示，那么补码就诞生了。

## 3 什么是补码？ ##

无符号（unsigned）的一个字节的数表示如下：

0000 0000 = 0
    0000 0001 = 1
    0000 0010 = 2
    ...
    1111 1111 = 255

有符号数（signed）的一个字节的数表示如下：

0000 0000 = 0
    0000 0001 = 1
    0000 0010 = 2
    ...
    1000 0000 = 0
    1000 0001 = -1
    ...
    1111 1111 = -127

问题出现了，`0000 0000` 和 `1000 0000` 都代表着数字  0 0 0

不仅如此，且计算两个数相加会非常复杂，比如：

0000 0010
    +   1000 1100
    ---------------
        ???? ????

这必然给计算机运算器带来麻烦  
于是约定，将`1000 0000` 设置为 `-128`，了解更多 [点这里][Link 1]  
因此范围被定义为：  − 128 -128 −128  ≤ \\leq ≤ X  ≤ \\leq ≤  \+ 127 +127 \+127

虽然两个 0 的表示问题解决了，但是计算问题依旧相当复杂，于是就引进了补码

> 几乎所有的教材都这样写到：
> 
> > 正数的补码就是原码  
> > 负数的补码是符号位不变（1），其余位取反，然后加一
> 
> 并且给出以下定义：
> 
> > 一个有符号数的最高位为符号位  
> > 0 代表这个数为正数  
> > 1 代表这个数为负数

依照这种定义，我们简单的来进行几个运算：  
【例1】用补码计算 `45 + 24`。

0010 1101
    +   0001 1000
    ---------------
    	0100 0101

正常答案`69`也是轻而易举的求出来了

【例2】用补码计算`45 - 38`。

0010 1101
    +   1101 1010 
    -----------------
    (1) 0000 0111

计算这一题的时候就有些犹豫了，因为进位已经到了符号位  
那么我的符号位到底参与运算吗？  
常理来说，符号位顾名思义，代表着数的正负，怎么可以参与运算呢？  
事实却恰恰相反，符号位参与运算的结果才是正确的，如上例所示。

## 4 什么才是正真的补码？ ##

上述的例子说明了一个非常矛盾的事情  
把一个数的最高位定义为了符号位，计算中符号位却能参与运算  
想必这也是很多人蒙在鼓里的地方了

补码的定义（以 8 8 8位字长数为例）：

也就是说，正数的补码就是原码  
而反码的补码等于位数  2 8 2^8 28 减去  X X X 的绝对值  ∣ X ∣ |X| ∣X∣，例如  − 38 -38 −38 的补码：

1 0000 0000
    -   0010 0110
    ----------------
        1101 1010

所以  − 38 -38 −38 的补码为`1101 1010`

**在这种定义下，没有反码的概念，也没有符号位的概念**

--------------------

参考：  
\[1\] [Signed Int: Bias/Excess Notation][Link 1]

[SHL _ SAL _ SHR _ SAR]: http://blog.csdn.net/syzdev/article/details/78186823
[Link 1]: http://www.cs.umd.edu/class/sum2003/cmsc311/Notes/Data/bias.html

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