#51 D. Beautiful numbers （数位dp+离散化）-蒲公英云

#51 D. Beautiful numbers （数位dp+离散化）

小咪咪 2022-06-17 03:44 297阅读 0赞

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http://codeforces.com/contest/55/problem/D

题意：

定义：Beautiful Numbers : 这个数能整除它的所有位上非零整数。问你[ l , r ] 之间的Beautiful Numbers的个数。

题解：

数位dp。

如果一个数能整除它的所有的非零数位，那么相当于它能整除个位数的最小公倍数。因此记忆化搜索中的参数除了len(当前位)和flag（是否达到上界），有一个pre_lcm表示前面的数的最小公倍数，判断这个数是否是Beautiful Numbers，还要有一个参数表示前面数，但是这个数太大，需要缩小它的范围。

解决方法：

缩小前面组成的数的范围。
可以发现所有个位数的最小公倍数是2520，假设当前的Beautiful Numbers是x，
那么 x % lcm{ dig[ i ] } = 0,
又 2520%lcm{ dig[ i ] } = 0。
那么x%2520%lcm{ dig[i] } = 0，x范围由9*10^18变为2520。

经过分析后可以设出dp[20][2520][2520]，dp[ i ] [ j ][ k ]表示处理到i位，前面的数的最小公倍数为j，前面的数%2520为k。这样做居然会TLE…明显爆内存…

因为1~9组成的最小公倍数只有48个，1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9 ,10 ,12 ,14 ,15 ,18, 20, 21 ,24, 28, 30 ,35, 36, 40 ,42, 45, 56, 60, 63, 70 ,72 ,84 ,90 ,105 ,120, 126, 140 ,168 ,180 ,210, 252, 280, 315 ,360, 420, 504 ,630 ,840, 1260 ,2520。一共48个。可以离散化，这样数组就降到了dp[20][50][2520]。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int max_lcm=2520;
int dig[25];
int Hash[2525];
ll dp[25][50][2525];
ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
ll lcm(ll a,ll b)
{
    return a/gcd(a,b)*b;
}
ll dfs(int len,int pre_lcm,int pre_num,int flag)
{
    if(len==0)
    {
        return pre_num % pre_lcm ==0;
    }
    if(!flag && dp[len][ Hash[pre_lcm] ][pre_num]!= -1 )
    return dp[len][ Hash[pre_lcm] ][pre_num];
    int n = flag ? dig[len] : 9;
    ll res = 0;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        int now_num = (pre_num * 10 +i) % max_lcm;
        int now_lcm = pre_lcm;
        if(i) now_lcm = lcm(pre_lcm,i);
        res += dfs(len-1,now_lcm,now_num,flag&&i==n);
    }
    if(!flag){
        dp[len][Hash[pre_lcm]][pre_num] = res;
    }
    return res;
}
ll cal(ll num)
{
    int len=0;
    while(num)
    {
        dig[++len]=num%10;
        num/=10;
    }
    return dfs(len,1,0,1);
}
int main()  
{  
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int t;
    ll a,b;
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=2520;i++)
    {
        if(max_lcm%i==0){
            Hash[i]=++cnt;
        }
    }
    cin>>t;
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    while(t--)
    {
        scanf("%I64d %I64d",&a,&b);
        //cout<<cal(b)-cal(a-1)<<endl;
        printf("%I64d\n",cal(b)-cal(a-1));
    }
    return 0;  
}