Codeforces 55D Beautiful Number （数位统计）-蒲公英云

Codeforces 55D Beautiful Number （数位统计）

把数位dp写成记忆化搜索的形式，方法很赞，代码量少了很多。

下面为转载内容：

　　 a positive integer number is beautiful if and only if it is divisible by each of its nonzero digits.
问一个区间内[l,r]有多少个Beautiful数字
范围9*10^18

数位统计问题，构造状态也挺难的，我想不出，我的思维局限在用递推去初始化状态，而这里的状态定义也比较难  
跟pre的具体数字有关  
问了NotOnlySuccess的，豁然开朗  Orz  
一个数字要被它的所有非零位整除，即被他们的LCM整除，可以存已有数字的Mask，但更好的方法是存它们的LCM\{digit\[i\]\}  
int MOD = LCM\{1,2,![Codeforces 55D Beautiful Number （数位统计） - AcBoy - AcBoy的博客][Codeforces 55D Beautiful Number _ - AcBoy - AcBoy]9\} = 5 \* 7 \* 8 \* 9 = 2520  
按照定义，数字x为Beautiful ：   
x % LCM\{digit\[xi\]\} = 0  
即 x % MOD % LCM\{digit\[xi\]\} = 0  
所以可以只需存x % MOD，范围缩小了  
而在逐位统计时，假设到了pre\*\*\*（pre指前面的一段已知的数字，而\*是任意变）  
    ( preSum \* 10^pos + next )  % MOD % LCM(preLcm , nextLcm)  
=  ( preSum \* 10 ^ pos % MOD + next % MOD ) % LCM(preLcm , nextLcm)  
== 0  
而next，nextLcm是变量，上面的比较式的意义就是  
在已知pos , preSum , preLcm情况下有多少种(next,nextLcm)满足式子为0  
而这个就是一个重复子问题所在的地方了，需要记录下来，用记忆化搜索  
dfs(pos , preSum , preLcm , doing)  
加一个标记为doing表示目前是在计算给定数字的上限，还是没有上限，即\*\*\*类型的  
这样就将初始化以及逐位统计写在一个dfs了，好神奇！！！  
还有一点，10以内的数字情况为2^3 , 3^2 , 5 , 7  
所以最小公倍数组合的情况只有4\*3\*2\*2 = 48  
可以存起来，我看NotOnlySuccess的写法是  
for(int i = 1 ; i <= MOD ; i ++)  
\{  
    if(MOD % i == 0)  
        index\[i\] = num++;  
\}  
很棒！！  
所以复杂度大概为19\*2520\*48\*10（状态数\*决策数）  
我觉得这题状态的设计不能跟具体数字分开，否则会很难设计吧  
所以用记忆化搜索，存起来  
用具体数字去计算，重复的子问题跟pre关系比较密切  
有一个比较重要的切入点就是LCM，还有%MOD缩小范围，才能存储  
还有优化到只需%252的，更快  
不过我觉得%2520比较好理解

代码：

1 const int MOD = 2520;
 2 
 3 LL dp[21][MOD][50];
 4 int digit[21];
 5 int indx[MOD+5];
 6 
 7 void init() {
 8     int num = 0;
 9     for(int i = 1; i <= MOD; ++i) {
10         if(MOD%i == 0) indx[i] = num++;
11     }
12     CL(dp, -1);
13 }
14 
15 LL gcd(LL a, LL b) {
16     return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
17 }
18 
19 LL lcm(LL a, LL b) {
20     return a/gcd(a, b)*b;
21 }
22 
23 LL dfs(int pos, int presum, int prelcm, bool edge) {
24     if(pos == -1)    return presum%prelcm == 0;
25     if(!edge && dp[pos][presum][indx[prelcm]] != -1)
26         return dp[pos][presum][indx[prelcm]];
27     int ed = edge ? digit[pos] : 9;
28     LL ans = 0;
29     for(int i = 0; i <= ed; ++i) {
30         int nowlcm = prelcm;
31         int nowsum = (presum*10 + i)%MOD;
32         if(i)   nowlcm = lcm(prelcm, i);
33         ans += dfs(pos - 1, nowsum, nowlcm, edge && i == ed);
34     }
35     if(!edge)    dp[pos][presum][indx[prelcm]] = ans;
36     return ans;
37 }
38 
39 LL cal(LL x) {
40     CL(digit, 0);
41     int pos = 0;
42     while(x) {
43         digit[pos++] = x%10;
44         x /= 10;
45     }
46     return dfs(pos - 1, 0, 1, 1);
47 }
48 
49 int main() {
50     //Read();
51 
52     init();
53     int T;
54     LL a, b;
55     cin >> T;
56     while(T--) {
57         cin >> a >> b;
58         cout << cal(b) - cal(a - 1) << endl;
59     }
60     return 0;
61 }