【日常学习】【背包DP（完全背包）】洛谷1616 疯狂的采药题解

比眉伴天荒 2022-08-03 13:51 138阅读 0赞

这是一道典型的完全背包题目

先上题目···于是又要迎来洛谷那令人不知道说什么的霸气摘要···

# 洛谷1616 疯狂的采药 #

本题地址：[ http://www.luogu.org/problem/show?pid=1616][http_www.luogu.org_problem_show_pid_1616]

## 题目背景 ##

此题为NOIP2005普及组第三题的疯狂版。 此题为纪念LiYuxiang而生。

## 题目描述 ##

LiYuxiang是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同种类的草药，采每一种都需要一些时间，每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”   
如果你是LiYuxiang，你能完成这个任务吗？  
此题和原题的不同点：  
1.每种采药可以无限制地疯狂采摘。  
2.药的种类眼花缭乱，采药时间好长好长啊！师傅等得菊花都谢了！

## 输入输出格式 ##

输入格式：

输入第一行有两个整数T（1 <= T <= 100000）和M（1 <= M <= 10000），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到10000之间（包括1和10000）的整数，分别表示采摘某种草药的时间和这种草药的价值。

输出格式：

输出一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

## 输入输出样例 ##

输入样例\#1：

70 3
    71 100
    69 1
    1 2

输出样例\#1：

140

## 说明 ##

对于30%的数据，M <= 1000；  
对于全部的数据，M <= 10000。

完全背包问题（物体可以选无限件）解决方案：

for (int i=1;i<=m;i++)
    	{
    		for (int j=v[i];j<=t;j++)
    		{
    			f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+c[i]);
    		}
    	}

再看01背包如何解决：

for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            for (int j=v;j>=a[i];j--)
            {
                f[j]=max(f[j],f[j-a[i]]+a[i]); 
            }
        }

我们惊奇地发现，两者的区别仅仅在于枚举体积循环，01背包是倒序，完全背包是正序。这是因为01背包要保证求解f\[j\]时，f\[j-c\[i\]\]是f\[i-1\]\[j-c\[i\]\]而不是f\[i\]\[j-c\[i\]\]。而完全背包恰恰相反，因为物品可选无数件，我们“选这件”需要考虑这件可能已经选了一些的情况，因此要保证求解f\[j\]时，f\[j-c\[i\]\]指的是f\[i\]\[j-c\[i\]\]。

对于完全背包问题的常数优化，可以用“一种简单有效的优化”，就是把价值低于某物品且体积高于某物品的物品删去。背包九讲中提到可以用O（n²）或者O（V+N）的方案实现，但我并不明白具体如何实现，是将该物品对应的两个数组元素赋值为0或某个值，还是怎么样？

无论如何，先把代码放上来吧

//洛谷1616 疯狂的采药 背包DP（完全背包）
    //copyright by ametake
    #include
       
        
    #include
        
         
    #include
         
          
    using namespace std;
    
    const int maxn=10000+10;
    const int maxt=100000+10;
    int t,m,v[maxn],c[maxn];// v=volumeÌå»ý c=cost=value¼ÛÖµ 
    int f[maxt];
    
    int main()
    {
    	scanf("%d%d",&t,&m);
    	for (int i=1;i<=m;i++)
    	{
    		scanf("%d%d",&v[i],&c[i]);
    	}
    	for (int i=1;i<=m;i++)
    	{
    		for (int j=v[i];j<=t;j++)
    		{
    			f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+c[i]);
    		}
    	}
    	printf("%d\n",f[t]);
    	return 0;
    }

——浮天水送无穷树，带雨云埋一半山

[http_www.luogu.org_problem_show_pid_1616]: http://www.luogu.org/problem/show?pid=1616