求一元方程的根（牛顿迭代法）

比眉伴天荒 2022-08-05 12:17 382阅读 0赞

**牛顿迭代公式：**

![20150426185940187][]

那么根据该公式可以**按以下步骤**求解一元方程的任意次的根  
(1) 选一个方程的近似根，赋给变量Xn;  
(2) 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0;  
(3) 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤(2)的计算。  
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。

以下均保留一位小数（关于格式化输出参考[cout格式化输出][cout]）：

# 求解一个数的平方根 #

#include <iomanip>
    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    int main() {
    	double num;
    	cin >> num;
    	if (num < 0) {
    		return 0;
    	}
    	double result = num;
    	while (true) {
                    //利用上述公式
                    result = result - (result * result - num) / (2 * result);
    		if (result * result - num < 0.000001) { //当结果小于某个精度时，结束
     			cout<< fixed << showpoint << setprecision(1)<< result <<endl;
    			break;
    		 }
    	}
    	return 0;
    }

# 求解一个数的三次方根 #

#include <iomanip>
    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    int main() {
    	double num;
    	cin >> num;
    	double result = num;
    	while (true) {
    		result = result - (result * result * result- num) / (3 * result * result);
    		if ((result * result * result - num < 0.000001) &&
    		    (result * result * result - num > -0.000001))
    		{
    			cout << fixed << showpoint << setprecision(1)<< result <<endl;
    			break;
    		}
    	}
    	return 0;
    }

# 求一元解方程的根 #

其实上述的两个例子就是分别求解x ^ 2 - a = 0以及 x ^ 3 - b = 0的解。更一般的是求解以下方程根：

![20150426201914092][]

方法和上面两个例子一样，只是这里不将程序全写在main函数内。该方法求三次根还有问题：例如如何x的初值等。

#include <iomanip>
    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    double fun1(int a, int b, int c, int d, double x) {
    	return a * x * x *x + b * x *x + c * x + d;
    }
    
    double fun2(int a, int b, int c, int d, double x) {
    	return 3 * a* x * x + 2 * b * x + c;
    }
    
    double newton(int a, int b, int c, int d, double x, double e) {
    	while (true) {
    		x = x - fun1(a, b, c, d, x) / fun2(a, b, c, d, x);
    		if (fun1(a, b, c, d, x) < e && fun1(a, b, c, d, x) > -e) {
    			return x;
    		}
    	}
    }
    int main() {
    	int a, b, c, d;
    	cin >> a >> b >> c >> d;
    	double x = d; //这里如何设定x的初值
    	cout << fixed << showpoint << setprecision(1) << newton(a, b, c, d, x, 0.00001) << endl;
    	return 0;
    }

[20150426185940187]: /images/20220805/462a2ae5a1e74fd6a85cf0bf1e942bf2.png
[cout]: http://blog.csdn.net/u013074465/article/details/45291449
[20150426201914092]: /images/20220805/f8f275ff7a88478aafef66ce747c68f3.png