离散余弦变换

离散余弦变换（DCT）信号谱分量丰富、能量集中，且不需要对语音相位进行估算等优点，在较低的运算复杂度下取得较好的语音增强效果。
假设一余弦序列
x ( n ) = cos ⁡ ( 2 π f n f s ) ， 0 < = n < 1000 x(n)=\cos(\frac{2\pi fn}{ {f}_{s}})， 0<=n<1000 x(n)=cos(fs2πfn)，0<=n<1000
其中f=50Hz， f s {f}_{s} fs=1000Hz。
则信号的离散余弦变换：
X ( k ) = 2 N ∑ n = 0 N − 1 C ( k ) x ( n ) cos ⁡ ( ( 2 n + 1 ) k π 2 N ) ， N = 0 , 1 , . . . N − 1 X(k) = \sqrt{\frac{2}{N}}\sum_{n=0}^{N-1}C(k)x(n)\cos(\frac{(2n+1)k\pi}{2N})，N=0,1,…N-1 X(k)=N2n=0∑N−1C(k)x(n)cos(2N(2n+1)kπ)，N=0,1,…N−1
C ( k ) C(k) C(k)是正交因子
C ( x ) = { 2 2 k=0 1 k=[1,2,…N-1] C(x)= \begin{cases} \frac{\sqrt{2}}{2}& \text{k=0}\\ 1& \text{k=[1,2,…N-1]} \end{cases} C(x)={ 221k=0k=[1,2,…N-1]

代码：

import numpy as np
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif']=['STSong']
f = 50
N = 1000
fs = 1000
n = np.array([i for i in range(N)])
xn = np.cos(2 * np.pi * f * n / fs)
# 离散余弦变换
def dct(x):
    N = len(x)  # 获取信号长度
    X = np.zeros(N)  # 初始化
    ts = np.array([i for i in range(N)])
    C = np.ones(N)  # 初始化1
    C[0] = np.sqrt(2) / 2  # 将C[0]赋值
    for k in range(N):
        X[k] = np.sqrt(2 / N) * np.sum(C[k] * np.multiply(x, np.cos((2 * ts + 1) * k * np.pi / 2 / N)))
    return X
# 函数调用
s_dct = dct(xn)
# 画出波形图
plt.figure(figsize=(8, 4))
plt.subplot(211)
plt.plot(xn)
plt.xlabel('样点')  # x轴样点
plt.title('原信号', fontsize=12, color='black')  # 标题名称、字体大小、颜色
plt.subplot(212)
plt.plot(s_dct)
plt.xlabel('样点')  # x轴样点
plt.title('离散余弦变换', fontsize=12, color='black')  # 标题名称、字体大小、颜色
plt.subplots_adjust(hspace=0.6)
plt.show()

结果：
在这里插入图片描述

离散余弦逆变换

则DCT的逆变换为
x ( n ) = 2 N ∑ n = 0 N − 1 C ( k ) X ( k ) cos ⁡ ( ( 2 n + 1 ) k π 2 N ) ， N = 0 , 1 , . . . N − 1 x(n) = \sqrt{\frac{2}{N}}\sum_{n=0}^{N-1}C(k)X(k)\cos(\frac{(2n+1)k\pi}{2N})，N=0,1,…N-1 x(n)=N2n=0∑N−1C(k)X(k)cos(2N(2n+1)kπ)，N=0,1,…N−1
代码：

# 离散余弦逆变换
def idct(X):
    N = len(X)  # 获取信号长度
    x = np.zeros(N)  # 初始化
    ts = np.array([i for i in range(N)])
    C = np.ones(N)  # 初始化1
    C[0] = np.sqrt(2) / 2  # 将C[0]赋值
    for n in range(N):
        x[n] = np.sqrt(2 / N) * np.sum(np.multiply(np.multiply(C[ts], X[ts]), np.cos((2 * n + 1) * np.pi * ts / 2 / N)))
    return x
# 函数调用
s_idct = idct(ss_dct)
plt.figure(figsize=(8, 4))
plt.plot(s_idct)
plt.xlabel('样点')  # x轴样点
plt.title('离散余弦逆变换恢复', fontsize=12, color='black')  # 标题名称、字体大小、颜色
plt.show()

结果：
在这里插入图片描述

调包实现

代码：

ds_dct = cv2.dct(xn)
ds_idct = cv2.dct(ds_dct)
# 画出波形图
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.subplot(311)
plt.plot(xn)
plt.xlabel('样点')  # x轴样点
plt.title('原信号', fontsize=12, color='black')  # 标题名称、字体大小、颜色
plt.subplot(312)
plt.plot(ds_dct)
plt.xlabel('样点')  # x轴样点
plt.title('离散余弦变换', fontsize=12, color='black')  # 标题名称、字体大小、颜色
plt.subplot(313)
plt.plot(ds_idct)
plt.xlabel('样点')  # x轴样点
plt.title('离散余弦逆变换恢复', fontsize=12, color='black')  # 标题名称、字体大小、颜色
plt.subplots_adjust(hspace=0.6)
plt.show()