语音信号处理（九）——离散余弦变换

阳光穿透心脏的1/2处 2023-06-18 15:55 1阅读 0赞

### 文章目录 ###

*   *  1.定义
     *  2.用C语言实现离散余弦变换

## 1.定义 ##

**DCT**(Discrete Cosine Transform)离散余弦变换，其常见用途是对音视频进行数据压缩。离散余弦变换具有信号谱分量丰富、能量集中，且不需要对语音相位进行估算等优点，能在较低的运算复杂度下取得较好的语音增强效果。

维基百科上的解释：DCT以不同频率振荡的余弦函数之和来表示数据点的有限序列。

1.信号常将其能量的大部分集中于频率域的一个小范围内，这样一来，描述不重要的分量 只需要很少的比特数；
    2.频率域分解映射了人类视觉系统的处理过程，并允许后继的量化过程满足其灵敏度的要求。

余弦函数是傅里叶变换中的实数部分。DCT与DFT（离散傅里叶变换）联系紧密。

设x(n) 是N 个有限值的一维实数信号序列， n = 0,l, …,N - 1, DCT 的完备正交归一  
函数是  
 X ( k ) = a ( k ) ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) cos ⁡ \[ π ( 2 n + 1 ) k 2 N \] x ( n ) = ∑ k = 0 N − 1 a ( k ) X ( k ) cos ⁡ \[ π ( 2 n + 1 ) k 2 N \] \\begin\{aligned\} X(k) &=a(k) \\sum\_\{n=0\}^\{N-1\} x(n) \\cos \\left\[\\frac\{\\pi(2 n+1) k\}\{2 N\}\\right\] \\\\ x(n) &=\\sum\_\{k=0\}^\{N-1\} a(k) X(k) \\cos \\left\[\\frac\{\\pi(2 n+1) k\}\{2 N\}\\right\] \\end\{aligned\} X(k)x(n)=a(k)n=0∑N−1x(n)cos\[2Nπ(2n\+1)k\]=k=0∑N−1a(k)X(k)cos\[2Nπ(2n\+1)k\]  
式中， a(k) 的定义为  
 a ( k ) = \{ 1 / N k = 0 2 / N 1 ⩽ k ⩽ N − 1 a(k)=\\left\\\{\\begin\{array\}\{ll\}\{\\sqrt\{1 / N\}\} & \{k=0\} \\\\ \{\\sqrt\{2 / N\}\} & \{1 \\leqslant k \\leqslant N-1\}\\end\{array\}\\right. a(k)=\{ 1/N2/Nk=01⩽k⩽N−1  
式中， n = 0,1, …，N - l;k = 0,1, …,N - 1。

a(k)用矩阵可表示为  
 \[ X ( 0 ) X ( 1 ) ⋮ X ( N − 1 ) \] = 2 N \[ 1 2 1 2 ⋯ 1 2 cos ⁡ π 2 N cos ⁡ 3 π 2 N ⋯ cos ⁡ ( 2 N − 1 ) π 2 N ⋮ ⋮ ⋮ cos ⁡ ( N − 1 ) π 2 N cos ⁡ 3 ( N − 1 ) π 2 N ⋯ cos ⁡ ( 2 N − 1 ) ( N − 1 ) π 2 N \] \[ x ( 0 ) x ( 1 ) ⋮ x ( N − 1 ) \] \\left\[\\begin\{array\}\{c\}\{X(0)\} \\\\ \{X(1)\} \\\\ \{\\vdots\} \\\\ \{X(N-1)\}\\end\{array\}\\right\]=\\sqrt\{\\frac\{2\}\{N\}\}\\left\[\\begin\{array\}\{cccc\}\{\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\}\}\} & \{\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\}\}\} & \{\\cdots\} & \{\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\}\}\} \\\\ \{\\cos \\frac\{\\pi\}\{2 N\}\} & \{\\cos \\frac\{3 \\pi\}\{2 N\}\} & \{\\cdots\} & \{\\cos \\frac\{(2 N-1) \\pi\}\{2 N\}\} \\\\ \{\\vdots\} & \{\\vdots\} & \{\} & \{\\vdots\} \\\\ \{\\cos \\frac\{(N-1) \\pi\}\{2 N\}\} & \{\\cos \\frac\{3(N-1) \\pi\}\{2 N\}\} & \{\\cdots\} & \{\\cos \\frac\{(2 N-1)(N-1) \\pi\}\{2 N\}\}\\end\{array\}\\right\]\\left\[\\begin\{array\}\{c\}\{x(0)\} \\\\ \{x(1)\} \\\\ \{\\vdots\} \\\\ \{x(N-1)\}\\end\{array\}\\right\] ⎣⎢⎢⎢⎡X(0)X(1)⋮X(N−1)⎦⎥⎥⎥⎤=N2⎣⎢⎢⎢⎢⎡21cos2Nπ⋮cos2N(N−1)π21cos2N3π⋮cos2N3(N−1)π⋯⋯⋯21cos2N(2N−1)π⋮cos2N(2N−1)(N−1)π⎦⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡x(0)x(1)⋮x(N−1)⎦⎥⎥⎥⎤  
由上式得到DCT 的另一种表示形式：  
 X ( k ) = 2 N ∑ n = 0 N C ( k ) x ( n ) cos ⁡ \[ π ( 2 π + 1 ) k 2 N \] k = 0 , 1 … , N − 1 X(k)=\\sqrt\{\\frac\{2\}\{N\}\} \\sum\_\{n=0\}^\{N\} C(k) x(n) \\cos \\left\[\\frac\{\\pi(2 \\pi+1) k\}\{2 N\}\\right\] \\quad k=0,1 \\ldots, N-1 X(k)=N2n=0∑NC(k)x(n)cos\[2Nπ(2π\+1)k\]k=0,1…,N−1

## 2.用C语言实现离散余弦变换 ##

例 对数组\{1 2 3 4 5 6 7 8 9\}进行离散余弦变换

C实现代码

#include <stdio.h>
    #include<math.h> 
    #define PI 3.1415926
    #define N 9
    
    int main()
    { 
    	int k,n;
    	int x[]={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9};
    	double C,s,X[9];
    	for(k=0;k<N;k++)
    	{ 
    		s=0;
    		if(k==0)         //计算k=0时的系数
    		C=sqrt(1.0/N);  
    		else           //计算k!=0时的系数
    		C=sqrt(2.0/N);
    		for(n=0;n<N;n++)//离散余弦变换 
    		{ 
    			double t = x[n]*cos(((2*n+1)*k*PI)/(2*N));
    			s=s+t;    //累加求和
    		}
    		X[k]=C*s;//X[k]等于累和结果s乘以系数C
    	}
    	for(k=0;k<N;k++)  
           printf("%f\n",X[k]);//输出离散余弦变换结果 
    }

实现结果  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwNjQ0Mjkx_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
MATLAB实现代码

>> x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9];
    >> y=dct(x)

实现结果  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwNjQ0Mjkx_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwNjQ0Mjkx_size_16_color_FFFFFF_t_70]: https://img-blog.csdnimg.cn/20191203142426573.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwNjQ0Mjkx,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwNjQ0Mjkx_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: https://img-blog.csdnimg.cn/20191203142444691.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwNjQ0Mjkx,size_16,color_FFFFFF,t_70