计算几何之判断两线段是否相交代码模板与证明

素颜马尾好姑娘i 2022-11-06 00:50 206阅读 0赞

### 判断两线段是否相交 ###

已知两线段 a 1 a 2 a\_1a\_2 a1a2和 b 1 b 2 b\_1b\_2 b1b2，判断是否相交

#### 代码模板 ####

bool segment_intersection(Point a1,Point a2,Point b1,Point b2)
    { 
    	double c1 = cross(a2 - a1,b1 - a1), c2 = cross(a2 - a1,b2 - a1);
    	double c3 = cross(b2 - b1,a2 - b1), c4 = cross(b2 - b1,a1 - b1);
    	return (c1 * c2 <= 0 && c3 * c4 <= 0);
    }

#### 证明 ####

有两条线段 a 1 a 2 a\_1a\_2 a1a2和 b 1 b 2 b\_1b\_2 b1b2，我们只需先证明 a 1 a\_1 a1和 a 2 a\_2 a2分别在 b 1 b 2 b\_1b\_2 b1b2的两侧，然后证明 b 1 b\_1 b1和 b 2 b\_2 b2分别在 a 1 a 2 a\_1a\_2 a1a2，当两个**同时满足时**，两线段一定相交。

然后关键就是如何判断两点在线段两侧，如下图：

![eg][]  
如图有 v ⃗ 1 、 v ⃗ 2 、 v ⃗ 3 \\vec v\_1、 \\vec v\_2 、\\vec v\_3 v1、v2、v3三个向量， v ⃗ 1 \\vec v\_1 v1与 v ⃗ 2 \\vec v\_2 v2的叉积对应的角度是 θ 1 \\theta\_1 θ1，同理， v ⃗ 1 \\vec v\_1 v1与 v ⃗ 3 \\vec v\_3 v3的叉积对应的角度是 θ 2 \\theta\_2 θ2，这两个角度的sin值符号一定是相反的，因此如果 v ⃗ 1 \\vec v\_1 v1与 v ⃗ 2 \\vec v\_2 v2的叉积和 v ⃗ 1 \\vec v\_1 v1与 v ⃗ 3 \\vec v\_3 v3的叉积相乘，得到的答案小于等于零就说明位于两侧，否则就是同侧。注意这里的等于0说明有一个端点在另一条直线上，这个也算相交，所以说小于等于零。

[eg]: /images/20221023/49d1ae70bfd44417a94acd43e5755a77.png

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