从一道初等几何题目聊聊作为工具的数学

亦凉 2023-02-16 00:41 1阅读 0赞

作为一个在杭州的流民，每周末才能回家，早上例行家务，做完后例行刷10分钟手机，在朋友圈看到一个有意思的几何题，原题如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2RvZzI1MA_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
哈哈，这正是我的菜，一直都是，遂放下手机，拿了几张打印纸，开始比划。

这等题目背后一定暗藏着某种奇技淫巧，必须作出辅助线才能真相大白，我先后尝试了：

*  过C做CG平行于AB…
 *  在AD上截取一点G，使得AG=AB，则三角形AGC等边…
 *  …
 *  过A作AG交DC于G，使得角BAG=60度…

其中最后一个奏效：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2RvZzI1MA_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

很容易证明 △ A B G \\triangle ABG △ABG等边，由于 A C = A G AC=AG AC=AG，则可求 ∠ A G C = 80 \\angle AGC=80 ∠AGC=80，进而 ∠ D G A = 100 \\angle DGA=100 ∠DGA=100，这就好玩了，简单掐指一算， ∠ D A G = 40 \\angle DAG=40 ∠DAG=40，我靠， A G = D G AG=DG AG=DG，所以， △ G B D \\triangle GBD △GBD等腰啊，所以， ∠ B D G = 180 − 40 2 = 70 \\angle BDG=\\dfrac\{180-40\}\{2\}=70 ∠BDG=2180−40=70，最终， ∠ B D A = 70 − 40 = 30 \\angle BDA=70-40=30 ∠BDA=70−40=30。

…

这一趟下来，丰满的很！我对这等奇技淫巧暗喜，从中学时代开始，我就惊叹于这等把戏，并且践行之，直到今日，我日常工作中，依然热衷于这种，详情参见我之前的文章。

由是我也付出了高昂的代价，我中学期间虽然数学竞赛能获奖，但高考失利，如今虽然能解决棘手问题，但不会编程…

如果 ∠ B A C = 81 \\angle BAC=81 ∠BAC=81怎么办？哈哈。

我写这篇文章，不是为了弘扬传统欧几里得几何学中众等奇技淫巧，更不是为了将此表述为所谓的艺术，虽然，在古希腊，这种技巧往往是贵族的娱乐活动之一，但真正的数学，必然是工具化的，思想化的。

我们需要一种工具。

这就是解析式，在笛卡尔坐标系中，这种问题便化作了一种流程化的算法，只需要记住简单的几个规则，这种问题便可以迎刃而解，即便 ∠ B A C = 82.3479 \\angle BAC=82.3479 ∠BAC=82.3479也无所谓。

随便选择一个原点 O O O建立平面直角坐标系，本例我选择BC的中点，并设 O C = 1 OC=1 OC=1：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2RvZzI1MA_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
很容易用点斜式求得直线 D C DC DC， A D AD AD的方程：

L d c : y = tan ⁡ 30 × ( x − 1 ) L\_\{dc\}:y=\\tan 30\\times (x-1) Ldc:y=tan30×(x−1)  
 L a d : y − tan ⁡ 50 = tan ⁡ 70 × x L\_\{ad\}:y-\\tan 50=\\tan70\\times x Lad:y−tan50=tan70×x

进而两个方程联立得到点D的坐标：

D : ( t a n 30 + t a n 50 t a n 30 − t a n 50 , 2 t a n 50 t a n 30 t a n 30 − t a n 50 ) D:(\\dfrac\{tan30+tan50\}\{tan30-tan50\},\\dfrac\{2tan50 tan30\}\{tan30-tan50\}) D:(tan30−tan50tan30\+tan50,tan30−tan502tan50tan30)

接下来用两点式求的直线 B D BD BD的方程，最终用夹角公式求的直线 B D BD BD和 A D AD AD的夹角。

是不是降维打击！

一道精心设计的题目，在三角形以及其角度之间被隐藏了太多的信息，就好像捉迷藏，只有作出正确的辅助线才能让人恍然大悟的题目，在解析式面前显得如此苍白！

在解析式面前，甚至不需要挖掘出图形背后隐藏的等边三角形，随便一个人，只需要机械化演算，就能得到结果，这就是力量。

哦，对了，还有诸多类似 ***求阴影部分面积*** 的题目，也是隐藏了很多非常狠毒的把戏，然而在解析坐标系里的微积分面前，一切都将暴露，任何把戏都是无力的。

虽然解析式和微积分让人觉得枯燥，显得毫无技巧，但是它们确实是推动现代科学进步的工具，是的，它们真正将数学工具化了，数学不再是一种思维游戏，不再是捉迷藏的把戏，而实实在在成了扳手榔头…

哦，还有，计算机不会自己想到欧几里得几何的奇技淫巧，但它却可以完成规则更简单的解析式运算，到底什么是智能呢？

本质上，解析式就是把世界摆在了一个规则的网格里，你挨着数数就可以，遍历虽然低效，但总是可行的，而把戏并非每次都奏效，它是需要条件的…

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浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。

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