【你也能看得懂得电磁场与电磁波系列连载 8】
今天更新到第八个连载了。本来在连载7里面,我们想后续介绍一下双导体和多导体系统,但是考虑再三,还是决定把那部分先放一放。因为电磁场与电磁波的主干就是 M a x w e l l Maxwell Maxwell 方程,无非就是 :电、磁、电生磁、磁生电。 首先把这四个现象及其对应的方程理解清楚才是当务之急,因此,我打算在用今天一个连载把静电场的边界条件分析一下,然后就开始进入 磁场 的方程部分。
同时,我们在今天推导完边界条件之后,也会再重新认识极化强度 P ˉ \bar{P} Pˉ 到底和 E ˉ \bar{E} Eˉ 有多么大的关系。
首先聊一聊为什么要讨论边界条件:因为在各种分界面上(例如介质与介质、介质与导体),在他们的分界面上,电场有可能在某些方向上是不连续的,这样就不能直接用静电场的基本方程求解,而需要先确定电场在分界面山满足什么样的关系。
首先提一下边界条件问题一般都要什么情况:
- 给定了在整个边界面上位函数的值
- 给定了在整个边界面上位函数的导数的值
- 在一部分边界面上给了位函数的值,在剩下的部分给了位函数导数的值
那么在分界面上,我们想啊,肯定不能一概而论。首先可以想到的是将分界面分为:法向方向和切向方向。下面我们分别来推导一下:
从上图我们可以看到,上下是两种介质, n ˉ \bar{n} nˉ 是分界面的法向方向。首先根据:
我们可以列出下面的方程:
到这里,大家可能有一个疑问——难道你不用考虑圆柱的侧面吗??但是大家注意:因为圆柱的高 △ h → 0 △h \to 0 △h→0,所以在式子里面就可以省去。
另外, q s q_s qs 表示分界面上 △ S △S △S 部分的电荷。但是这样的表达不好,因为如果你用 q s q_s qs,那其实只是针对这个 △ S △S △S 部分的,如果我们想统一地描述整个分界面的电荷分布情况,那么最好是用面电荷密度来表示。
因此,上式改写为:
约掉面积,就可以得到:
这是静电场的第一个边界方程。(另外,如果分界面上没有面电荷,那么式子的右边就是0)这个式子说明——电场在法向方向上一般不连续
这里补充一下电位的第一个边界方程,这一部分大家可以等我们讲完矢量微分算子之后再会过来看:
因为我们有这个关系:
那么对于法向方向,就有:
那么,把这个式子带进静电场第一个边界方程,就可以得到电位的第一个边界方程:
下面,我们重新回到电介质与真空的分界面。假设上图中的 “2” 是真空电场、“1” 是电介质。我们现在已经知道电介质极化之后,在介质内部产生的总电场可以表示为: D ˉ = ε 0 E ˉ + P ˉ \bar{D} = ε_0\bar{E} +\bar{P} Dˉ=ε0Eˉ+Pˉ
而真空与电介质分界面的面电荷就是束缚面电荷。
那么根据刚刚推导出来的边界条件:
n ˉ ⋅ ( ε 0 E ˉ + P ˉ ) − n ˉ ⋅ ε 0 E ˉ = ρ s p \bar{n}\sdot (ε_0\bar{E} +\bar{P}) - \bar{n}\sdot ε_0\bar{E} = ρ_{sp} nˉ⋅(ε0Eˉ+Pˉ)−nˉ⋅ε0Eˉ=ρsp
这样也可以得到我们在之前连载里面推导出来的束缚面电荷密度表达式: ρ s p = n ˉ ⋅ P ˉ ρ_{sp} = \bar{n} \sdot \bar{P} ρsp=nˉ⋅Pˉ
说完了法向,咱们再来看看切向:对于切向方向,我们根据:
可以列出下面的方程:
同样地,因为 △ h → 0 △h \to 0 △h→0,所以在式子里面就可以省去。
此时,我们发现:对于上图这个矩形,我们规定了环路是顺时针,那么根据右手螺旋定则,这个矩形框的法向方向应该是 S ˉ \bar{S} Sˉ(垂直于纸面向里)
那么,我们有:
带入上式,可得:
然后,我们可能需要一点矢量运算的性质:
对上面的式子一套用这个性质,我们就可以得到静电场在切向方向上的边界条件:
即: E 1 t = E 2 t E_{1t} = E_{2t} E1t=E2t。这说明电场在分界面的切向方向是连续的!
有这个电场的第二个边界方程,我们也可以推出电位的第二个边界方程:
进一步,如果上图中那一部分是导体,那么那一部分的 D ˉ , E ˉ \bar{D}, \bar{E} Dˉ,Eˉ 均为0.(这是介质于导体分界面的情况)
好啦!本次连载就要告一段落了。我们今天学习了静电场的边界方程,那么下一个连载,我们将进入磁场的世界,探寻 M a x w e l l Maxwell Maxwell 方程里面是如何描述磁场的。
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