对数函数

梦里梦外; 2023-05-30 14:57 92阅读 0赞

## 简介 ##

一般地，对数函数是以[幂][Link 1]（[真数][Link 2]）为[自变量][Link 3]，指数为[因变量][Link 4]，底数为[常量][Link 5]的函数。

对数函数是6类[基本初等函数][Link 6]之一。其中[对数][Link 7]的定义：

如果ax =N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的[对数][Link 7]，其中a叫做对数的[底数][Link 8]，N叫做[真数][Link 2]。

一般地，函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

其中x是自变量，函数的[定义域][Link 9]是（0，+∞），即x>0。它实际上就是[指数函数][Link 10]的[反函数][Link 11]，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

在[实数][Link 12]域中，真数式子没[根号][Link 13]那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零（若为负数，则值为虚数），[底数][Link 14]则要大于0且不为1。

[![对数函数][format_png]][format_png 1]对数函数

对数函数的底数为什么要大于0且不为1？【在一个普通对数式里 a<0，或=1 的时候是会有相应b的值。但是，根据对数定义：[log][]以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切[实数][Link 12]（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）】

通常我们将以10为底的对数叫[常用对数][Link 15]（common logarithm），并把log10N记为lgN。另外，在科学计数中常使用以[无理数e][e]=2.71828···为底数的对数，以e为底的[对数][Link 16]称为[**自然对数**][Link 17]**（natural logarithm）**，并且把***logeN*** 记为***In N***。根据对数的定义，可以得到对数与[指数][Link 18]间的关系：

当a>0，a≠1时，aX=N

![format_png 2][]

X=*logaN*。（N>0）

由[指数函数][Link 19]与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：

在[实数][Link 12]范围内，[负数][Link 20]和[零][Link 21]没有对数；

![format_png 3][]  ，log以a为底1的对数为0（a为常数） 恒过点（1，0）。

**有理和无理指数**

如果 ![format_png 4][] 是正整数， ![format_png 5][]  表示等于![format_png 6][]  的![format_png 7][]

个因子的加减:

[![加减][format_png 8]][format_png 8 1]加减

但是，如果是 ![format_png 9][]  不等于1的正实数，这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数 ![format_png 10][] （参见[幂][Link 22]）。类似的，对数函数可以定义于任何[正实数][Link 23]。对于不等于1的每个正[底数][Link 14] ![format_png 11][]  ，有一个对数函数和一个[指数函数][Link 19]，它们互为反函数。

对数可以简化[乘法][Link 24]运算为[加法][Link 25]，除法为[减法][Link 26]，[幂运算][Link 27]为[乘法][Link 24]，根运算为[除法][Link 28]。所以，在发明[电子计算机][Link 29]之前，对数对进行冗长的数值运算是很有用的，它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。

**复对数**

复对数计算公式

复数的自然对数，实部等于复数的模的自然对数，虚部等于复数的辐角。

![format_png 12][]

## 产生历史 ##

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16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数 \[1\]  。

德国的史蒂非（1487-1567）在1544年所著的《[整数][Link 30]算术》中，写出了两个[数列][Link 31]，左边是[等比数列][Link 32]（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。

欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之[积][Link 33]（[商][Link 34]），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。

[纳皮尔][Link 35]对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」，[化简][Link 36]了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求[球面三角][Link 37]计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的[对数表][Link 38]的描述》中阐明了对数原理，后人称为 纳

[![对数的图像][format_png 13]][format_png 13 1]对数的图像

皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为：

Nap．㏒x=10㏑（107/x）

由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。

[瑞士][Link 39]的彪奇（1552-1632）也独立地发现了[对数][Link 16]，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。

英国的[布里格斯][Link 40]在1624年创造了常用对数。

1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。

对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，简化了行星轨道运算问题。正如科学家[伽利略][Link 41]（1564-1642）说：「给我时间，[空间][Link 42]和对数，我可以创造出一个宇宙」。 又如十八世纪数学家[拉普拉斯][Link 43]（ 1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。

最早传入我国的对数著作是《比例[与][Link 44]对数》，它是由波兰的[穆尼斯][Link 45]（1611-1656）和我国的[薛凤祚][Link 46]在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫**真数**，0.3010叫做**假数**，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用**假数**为**对数**」。

我国清代的数学家[戴煦][Link 47]（1805-1860）发展了多种求对数的捷法，著有《[对数][Link 16][简][Link 48][法][Link 49]》（1845）、《续对数简法》（1846）等。1854年，英国的数学家[艾约瑟][Link 50]（1825-1905）看到这些著作后，大为叹服。

当今中学数学教科书是先讲「[指数][Link 18]」，后以[反函数][Link 51]形式引出「对数」的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年，J．威廉（1675-1749）在给G.威廉的《[对数表][Link 38]》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《[无穷小][Link 52]分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是[指数函数][Link 19]的逆函数，和21世纪的教科书中的提法一致。

## 函数性质 ##

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[**定义域**][Link 53]**求解**：对数函数y=logax 的定义域是\{x 丨x>0\}，但如果遇到对数型[复合函数][Link 54]的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意[底数][Link 14]大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需同时满足x>0且x≠1

和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 \{x 丨x>1/2且x≠1\}

[**值域**][Link 55]**：**[实数集][Link 56]R，显然对数函数无界；

[**定点**][Link 57]**：**对数函数的函数图像恒过定点（1，0）；

[**单调性**][Link 58]**：**a>1时，在定义域上为单调增函数；

0<a<1时，在[定义域][Link 53]上为单调减函数；

[**奇偶性**][Link 59]**：**[非奇非偶函数][Link 60]

[**周期性**][Link 61]**：**不是[周期函数][Link 62]

对称性：无

最值：无

**零点：**x=1

**注意：****负数和0没有对数**。

两句经典话：**底真同对数正，底真异对数负**。解释如下：

也就是说：若y=logab （其中a>0，a≠1，b>0）

当0<a<1， 0<b<1时，y=logab>0;

当a>1， b>1时，y=logab>0;

当0<a<1， b>1时，y=logab<0;

当a>1， 0<b<1时，y=logab<0。

## 公式推导 ##

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e的定义：

![format_png 14][]

设a>0，a≠1

方法一： ![format_png 15][]

[![指数函数][format_png 16]][format_png 16 1]指数函数

![format_png 17][]

![format_png 18][]

![format_png 19][]

![format_png 20][]

![format_png 21][]

![format_png 22][]

特殊地，当 ![format_png 23][]  时，

![format_png 24][]    。

方法二：

设![format_png 25][]  ，两边取对数ln y=xln a

两边对x求导：y'/y=ln a，y'=yln a=a^xln a

特殊地，当a=e时，y'=（a^x）'=（e^x）'=e^xln e=e^x。

eº=1

## 运算性质 ##

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### 性质 ###

一般地，如果a（a>0，且a≠1）的b次[幂][Link 22]等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的[**底数**][Link 14]，N叫做[**真数**][Link 63]***。***

底数则要>0且≠1 真数>0

并且，在比较两个函数值时：

如果[底数][Link 14]一样，[真数][Link 63]越大，[函数值][Link 64]越大。（a>1时）

如果底数一样，真数越小，函数值越大。（0<a<1时）

当a>0且a≠1时，M>0，N>0，那么：

[![对数函数化简问题][format_png 26]][format_png 26 1]对数函数化简问题

### 和差 ###

[![和差][format_png 27]][format_png 27 1]和差

### 换底公式 ###

[![换底公式][format_png 28]][format_png 28 1]换底公式

推导：设

[![换底公式][format_png 29]][format_png 29 1]换底公式

所以

[![换底公式][format_png 30]][format_png 30 1]换底公式

两边取对数，则有

[![换底公式][format_png 31]][format_png 31 1]换底公式

即

[![换底公式][format_png 32]][format_png 32 1]换底公式

又因为

[![换底公式][format_png 33]][format_png 33 1]换底公式

所以

[![换底公式][format_png 34]][format_png 34 1]换底公式

### 指系 ###

[![指系][format_png 35]][format_png 35 1]指系

### 互换 ###

[![互换][format_png 36]][format_png 36 1]互换

### 倒数 ###

[![倒数][format_png 37]][format_png 37 1]倒数

### 链式 ###

[![链式][format_png 38]][format_png 38 1]链式 \[2\]

## 表达方式 ##

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（1）常用对数：lg（b）=log10b（10为底数）。

（2）自然对数：ln（b）=logeb（e为底数）。

e为[无限不循环小数][Link 65]，通常情况下只取e=2.71828。

## 与指数的关系 ##

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同底的对数函数与[指数函数][Link 19]互为反函数。

当a>0且a≠1时，ax=N

![format_png 2][]

x=㏒aN。

关于y=x[对称][Link 66]。

对数函数的一般形式为 y=㏒ax，它实际上就是指数函数的[反函数][Link 51]（图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1），右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：关于X轴对称、当a>1时，a越大，图像越靠近x轴、当0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴。

可以看到，对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于[直线][Link 67]y=x的[对称][Link 66]图形，因为它们互为[**反**][Link 51]

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