负数在计算机中的储存方式

川长思鸟来 2023-05-31 10:11 1阅读 0赞

最近在学习位运算符时，发现负数在做带符号位的右移运算符时，结果与想象中的大不一样，经过查阅资料之后发现，原来这一切源自负数在计算机中的储存方式  
  
负数在计算机中是以**补码**的形式储存的  
  
**注意：** 本文为了简化运算，二进制数都是用一个字节——8个二进制位说明

## 1 一些概念 ##

在进行问题探究之前，先了解一些概念

### 1.1 原码 ###

原码就是符号位加上真值的绝对值，即8位二进制数的第一位是符号位，其余位表示值

> \+1(原) = 0000 0001  
>   
> \-1(原) = 1000 0001

第一位表示正负号，所以8位二进制数的取值范围是

> \[1111 1111 , 0111 1111\]

即\[-127,127\]

### 1.2 反码 ###

正负数的反码规则不一样  
  
正数的反码就是其本身  
  
负数的反码就是，在原码的基础上，符号位不变，其余位取反

> \+1 = \[0000 0001\]原 = \[0000 0001\]反  
>   
> \-1 = \[1000 0001\]原 = \[1111 1110\]反

### 1.3 补码 ###

补码的计算规则为  
  
正数的补码就是其本身  
  
负数的补码就是在其反码的基础上+1

> \+1 = \[0000 0001\]原 = \[0000 0001\]反 = \[0000 0001\]补  
>   
> \-1 = \[1000 0001\]原 = \[1111 1110\]反 = \[1111 1111\]补

## 2 为何这么复杂 ##

从上面我们可以知道，负数的原码、反码、补码是很不一样的，这样设计的好处是方便计算机做减法  
  
首先，因为人可以轻松知道第一位是符号位，在计算的时候我们会根据符号位，选择对真值区域的加减。但是要让计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂！于是就想出了将符号位也参与运算的方法。我们知道，根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数，即：1 - 1 = 1 + (-1) = 0 ，所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了  
  
于是开始探索将符号位参与运算，并且只保留加法的方法  
  
以1-1=0为例  
  
**原码**

> 1 - 1 = 1 + (-1) =  
>   
> \[0000 0001\]原  
>   
> \+ \[1000 0001\]原  
>   
> \---------------------  
>   
> = \[1000 0010\]原  
>   
> = -2

如果用原码表示，让符号位也参与计算，显然对于减法来说，结果是不正确的。这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数  
  
**反码**

> 1 - 1 = 1 + (-1) =  
>   
> \[0000 0001\]原  
>   
> \+ \[1000 0001\]原 =  
>   
> \------------------------  
>   
> \[0000 0001\]反  
>   
> \+ \[1111 1110\]反  
>   
> \------------------------  
>   
> = \[1111 1111\]反  
>   
> \------------------------  
>   
> = \[1000 0000\]原  
>   
> = -0

发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的。而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上，虽然人们理解上+0和-0是一样的，但是0带符号是没有任何意义的。而且会有\[0000 0000\]原和\[1000 0000\]原两个编码表示0  
  
**补码**

> 1-1 = 1 + (-1) =  
>   
> \[0000 0001\]原  
>   
> \+ \[1000 0001\]原 =  
>   
> \------------------------  
>   
> \[0000 0001\]补  
>   
> \+ \[1111 1111\]补  
>   
> \------------------------  
>   
> = \[1 0000 0000\]补(出现了一个9位二进制数，所以去除一位，变成)  
>   
> \------------------------  
>   
> = \[0000 0000\]补  
>   
> \------------------------  
>   
> = \[0000 0000\]原  
>   
> = 0

这样0用\[0000 0000\]表示,而以前出现问题的-0则不存在了。而且可以用\[1000 0000\]表示-128  
  
再看看-1-127

> (-1) + (-127) =  
>   
> \[1000 0001\]原  
>   
> \+ \[1111 1111\]原 =  
>   
> \------------------------  
>   
> \[1111 1111\]补  
>   
> \+ \[1000 0001\]补  
>   
> \------------------------  
>   
> = \[1 1000 0000\]补(出现了一个9位二进制数，所以去除一位，变成)  
>   
> = \[1000 0000\]补

\-1-127的结果应该是-128，在用补码运算的结果中，\[1000 0000\]补 就是-128。但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128，所以-128并没有原码和反码表示。(对-128的补码表示\[1000 0000\]补算出来的原码是\[0000 0000\]原，这是不正确的)  
  
使用补码，不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数。这就是为什么8位二进制，使用原码或反码表示的范围为\[-127, +127\]，而使用补码表示的范围为\[-128, 127\]  
  
从上述说明中，我们可以得知，通过使用补码，可以将减法变成加法，更符合计算机的运行规则

## 3 补码的本质 ##

接下来看看负数补码的本质  
  
以-8为例，-8其实就是0-8

> \[0000 0000\]  
>   
> \- \[0000 1000\]  
>   
> \------------------  
>   
> 因为被减数(\[0000 0000\])小于减数(\[0000 1000\])，所以需要向上接一位,被减数就变成了\[1 0000 0000\]，上面的式子也就成了  
>   
> \[1 0000 0000\]  
>   
> \- \[0000 1000\]  
>   
> \------------------  
>   
> \[1111 1000\]  
>   
> 其实上面的\[1 0000 0000\] = \[1111 1111\] + \[0000 0001\]，所以上面的式子可以分解成  
>   
> \[1111 1111\]  
>   
> \- \[0000 1000\]  
>   
> \------------------  
>   
> \[1111 0111\]  
>   
> \+ \[0000 0001\]  
>   
> \------------------  
>   
> \[1111 1000\]

补码的两个步骤就是这么来的