AcWing 1027. 方格取数【DP动态规划】c++版题解

水深无声 2021-07-24 18:47 487阅读 0赞

#### 题目 ####

设有 N×N 的方格图，我们在其中的某些方格中填入正整数，而其它的方格中则放入数字0。如下图所示：

![在这里插入图片描述][20201129185222467.png]

某人从图中的左上角 A 出发，可以向下行走，也可以向右行走，直到到达右下角的 B 点。

在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。

此人从 A 点到 B 点共走了两次，试找出两条这样的路径，使得取得的数字和为最大。

**输入格式**  
第一行为一个整数N，表示 N×N 的方格图。

接下来的每行有三个整数，第一个为行号数，第二个为列号数，第三个为在该行、该列上所放的数。

行和列编号从 1 开始。

一行“0 0 0”表示结束。

**输出格式**  
输出一个整数，表示两条路径上取得的最大的和。

**数据范围**  
N≤10  
**输入样例：**  
8  
2 3 13  
2 6 6  
3 5 7  
4 4 14  
5 2 21  
5 6 4  
6 3 15  
7 2 14  
0 0 0  
**输出样例：**  
67

### 思路 ###

**只走一次:**  
`f[i,j]`表示所有从`(1,1`)走到`(i,j)`的路径的最大值`f[i,j]= max(f[i-1,j]+ w[i], f[i-1][j]+ w[i])`  
**走两次:**  
`f[i1,j1,i2,j2`\]表示所有从`(1,1),(1,1)`分别走到`(i1,j1),(i2,j2)`的路径的最大值  
**如何处理"同—个格子不能被重复选择"?**  
只有在`i1 + j1 == i2 +j2`时，两条路径的格子才可能重合  
`f[k, i1, i2]`表示所有从`(1,1),(1,1)`分别走到`(i1,k-i1), (i2,k-i2)`的路径的最大值  
`k`表示两条路线当前走到的格子的横纵坐标之和  
`k = i1 + j1 = i2+ j2`

因此把状态由`f[i1][j1][i2][j2]`优化成三维 `f[k][i1][i2]`  
等价于 `[i1][k−i1][i2]k−i2]`  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTYyOTI4NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
**状态转移方程的求解：**  
**考虑四种走法：**

第一条：下 第二条：下

`f[i1-1]][j1][i2-1][j2]==f[k-1][i1-1][i2-1]`;

第一条：下 第二条：右

`f[i1-1][j1][i2][j2-1]==f[k-1][i1-1][i2]`;

第一条：右 第二条：下

`f[i1][j1-1][i2-1][j2]==f[k-1][i1][i2-1]`;

第一条：右 第二条：右

`f[i1][j1-1][i2][j2-1]==f[k-1][i1][i2]`;  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTYyOTI4NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

### 代码 ###

#include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    const int N=15;
    int w[N][N];
    int f[N*2][N][N];
    int main()
    { 
        int n;
        cin>>n;
        int a,b,c;
        while(cin>>a>>b>>c,a||b||c) w[a][b]=c;
        for(int k=2;k<=n*2;k++)
          for(int i1=1;i1<=n;i1++)
           for(int i2=1;i2<=n;i2++)
             { 
                 int j1=k-i1,j2=k-i2;
                 int t=w[i1][j1];
                 if(i1!=i2)  t+=w[i2][j2];        //未走到同一格子
                 if(i1>=1&&i1<=n&&i2>=1&&i2<=n)   //判断是否在边界内
                 { 
                    int &x=f[k][i1][i2];
                    x=max(x,f[k-1][i1-1][i2-1]+t);
                    x=max(x,f[k-1][i1-1][i2]+t);
                    x=max(x,f[k-1][i1][i2-1]+t);
                    x=max(x,f[k-1][i1][i2]+t);
                 }
             }
        cout<<f[n*2][n][n]<<endl;
        return 0;
    }

[20201129185222467.png]: /images/20210724/ce09281badfa43f7b1bc2966477b8dce.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTYyOTI4NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: /images/20210724/448e9a9c0564460f8a3f6704de6a4c6d.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTYyOTI4NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]: /images/20210724/4c11ff7528cb4768b719310f884293ad.png