方格取数

心已赠人 2022-03-07 10:52 306阅读 0赞

## 题目描述 ##

设有N \\times NN×N的方格图(N \\le 9)(N≤9)，我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字00。如下图所示（见样例）:

A
     0  0  0  0  0  0  0  0
     0  0 13  0  0  6  0  0
     0  0  0  0  7  0  0  0
     0  0  0 14  0  0  0  0
     0 21  0  0  0  4  0  0
     0  0 15  0  0  0  0  0
     0 14  0  0  0  0  0  0
     0  0  0  0  0  0  0  0
                             B

某人从图的左上角的A点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的B点。在走过的路上，他可以取走方格中的数**（取走后的方格中将变为数字0）**。  
此人从AA点到BB点共走两次，试找出22条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

## 输入输出格式 ##

**输入格式：**

输入的第一行为一个整数NN（表示N \\times NN×N的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的00表示输入结束。

**输出格式：**

只需输出一个整数，表示22条路径上取得的最大的和。

## 输入输出样例 ##

**输入样例\#1：** 复制

8
    2 3 13
    2 6  6
    3 5  7
    4 4 14
    5 2 21
    5 6  4
    6 3 15
    7 2 14
    0 0  0

**输出样例\#1：** 复制

## 说明 ##

NOIP 2000 提高组第四题

> 【解析】
> 
> 我们考虑两个人同时走，就相当于数字三角形。状态转移方程为：
> 
> f\[i\]\[j\]\[k\]\[l\]=max(f\[i-1\]\[j\]\[k-1\]\[l\],f\[i-1\]\[j\]\[k\]\[l-1\],f\[i\]\[j-1\]\[k-1\]\[l\],f\[i\]\[j-1\]\[k\]\[l-1\])+a\[i\]\[j\]+a\[k\]\[l\];f\[i\]\[j\]\[k\]\[l\]=max(f\[i−1\]\[j\]\[k−1\]\[l\],f\[i−1\]\[j\]\[k\]\[l−1\],f\[i\]\[j−1\]\[k−1\]\[l\],f\[i\]\[j−1\]\[k\]\[l−1\])+a\[i\]\[j\]+a\[k\]\[l\];
> 
> 不过要判断i=k&&j=l的情况。

> 动态规划的题目都需要先找到子问题，要想找到到B时的最大路径之和，就要分析到B有哪些路径，只能通过向下或者向由到达B，所以需要找到子问题有f\[i-1\]\[j\]\[k-1\]\[l\],f\[i-1\]\[j\]\[k\]\[l-1\],f\[i\]\[j-1\]\[k\]\[l-1\],f\[i\]\[j-1\]\[k-1\]\[l\]四个，只需要找到这四个的最大值再加上到达（i,j)点的值a\[i\]\[j\]+a\[k\]\[l\]即可。

#include<cstdio>
    #include<iostream>
    #include<cmath>
    using namespace std;
    int f[11][11][11][11],a[11][11];
    int main()
    {
    	int n,x,y,z;
    	scanf("%d",&n);
    	while(1)
    	{
    		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
    		if(x == 0 && y == 0 && z == 0) break; 
    		a[x][y] = z;
    	}
    	for(int i = 1; i <= n; ++i)
    	{
    		for(int j = 1; j <= n; ++j)
    		{
    			for(int k = 1; k <= n; ++k)
    			{
    				for(int l = 1; l <= n; ++l)
    				{
    					f[i][j][k][l] = max(f[i-1][j][k-1][l],max(f[i-1][j][k][l-1],max(f[i][j-1][k-1][l],f[i][j-1][k][l-1])))+a[i][j]+a[k][l];
    					if(i == k && j == l) f[i][j][k][l] -= a[i][j];//走过一次以后就会数就会变为0 
    				}
    			}
    		}
    	}
    	printf("%d",f[n][n][n][n]);
    	return 0;	
    }