41 和为S的连续整数序列-蒲公英云

41 和为S的连续整数序列

题目要求:小明很喜欢数学,有一天他在做数学作业时,要求计算出9~16的和,他马上就写出了正确答案是100。但是他并不满足于此,他在想究竟有多少种连续的正数序列的和为100(至少包括两个数)。没多久,他就得到另一组连续正数和为100的序列:18,19,20,21,22。现在把问题交给你,你能不能也很快的找出所有和为S的连续正数序列? Good Luck!

输出描述:输出所有和为S的连续正数序列。序列内按照从小至大的顺序，序列间按照开始数字从小到大的顺序

思路一:双指针思路

从42 递增数组中和为S的两个数(上一篇博客)得到启示，我们也可以设置两个指针，一个指向当前序列的最小的数，一个指向当前序列最大的数。

1）设置两个指针，一个为small指向当前正数序列中最小的数，一个为big指向当前正数序列中最大的数；

2）若是当前的正数序列之和大于S，那么缩小序列范围，让small指针不停往前走，知道等于S停止；

3）若是当前的正数序列之和小于S，那么扩大序列范围，让big指针不停往前走，直到和为S停止；

注意点：设置mid变量，赋值为(1+s)/2，因为何为s的序列至少包括两个数，所以small要小于s的一半；

1 import java.util.ArrayList;
 2 public class Solution {
 3     public ArrayList<ArrayList<Integer> > FindContinuousSequence(int sum) {
 4         ArrayList<ArrayList<Integer> > result = new ArrayList<>();
 5         //可以考虑特殊情况
 6         if(sum<3) return result;因为至少要包括两个数，要求的是正整数序列，那么最小的和为3 
 7         //用small和big分别来代表连续序列的头和尾,并定义中间变量mid
 8         int small = 1,big = 2;
 9         int mid = (sum + 1)/2;
10         while( small < mid){
11             由于是连续的，差为1的一个序列，那么求和公式是(a0+an)*n/2
12             int cur = (big + small) * (big - small + 1) / 2;
13             if(cur == sum){
14                 ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();
15                 for(int i=small;i<=big;i++){
16                     list.add(i);
17                 }
18                 result.add(list);
19                 small++; //成功加进一种可能后,small++,寻找下一种可能的序列
20             }else if(cur < sum){
21                 big++;
22             }else{
23                 small++;
24             }
25         }
26         return result;
27     }
28 }

思路二:时间复杂度更低一些

虽然更牛逼,但是我没有看懂

完全在用数学思想去解题,头大

1）由于我们要找的是和为S的连续正数序列，因此这个序列是个公差为1的等差数列，而这个序列的中间值代表了平均值的大小。假设序列长度为n，那么这个序列的中间值可以通过（S / n）得到，知道序列的中间值和长度，也就不难求出这段序列了。

2）满足条件的n分两种情况：

n为奇数时，序列中间的数正好是序列的平均值，所以条件为：(n & 1) == 1 && sum % n == 0；

n为偶数时，序列中间两个数的平均值是序列的平均值，而这个平均值的小数部分为0.5，所以条件为：(sum % n) * 2 == n.

3）由题可知n >= 2，那么n的最大值是多少呢？我们完全可以将n从2到S全部遍历一次，但是大部分遍历是不必要的。为了让n尽可能大，我们让序列从1开始，

根据等差数列的求和公式：S = (1 + n) * n / 2，得到 5073898_1515927185012_equation_tex_n_20_3C_20_5Csqrt_7B2S_7D .

最后举一个例子，假设输入sum = 100，我们只需遍历n = 13~2的情况（按题意应从大到小遍历），n = 8时，得到序列[9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16]；n = 5时，得到序列[18, 19, 20, 21, 22]。

完整代码：时间复杂度为 5073898_1516868312189_equation_tex_O_28_5Csqrt_7Bn_7D_29

1 import java.util.ArrayList;
 2 public class Solution {
 3     public ArrayList<ArrayList<Integer> > FindContinuousSequence(int sum) {
 4         ArrayList<ArrayList<Integer>> ans = new ArrayList<>();
 5         for (int n = (int) Math.sqrt(2 * sum); n >= 2; n--) {
 6             if ((n & 1) == 1 && sum % n == 0 || (sum % n) * 2 == n) {
 7                 ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();
 8                 for (int j = 0, k = (sum / n) - (n - 1) / 2; j < n; j++, k++) {
 9                     list.add(k);
10                 }
11                 ans.add(list);
12             }
13         }
14         return ans;
15     }
16 }