应力分析(1)

Bertha 。 2023-02-22 10:50 22阅读 0赞

# 弹塑性力学1–应力分析(1) #

## 弹性力学的研究对象和内容 ##

物体受外载荷作用所产生的形状和大小的改变，称之为变形或形变，通常考虑的外部载荷包括机械外力、温度、电磁力等各种物理因素。如果将引起变形的外部载荷移去后，物体能完全回复到原来的形状和大小，这种变形称为弹性变形。

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# 应力分析 #

## 应力矢量 ##

$ \\newcommand\{\\vect\}\[1\]\{\\boldsymbol\{\#1\}\}$

考查平面C上包括P点在内的微小面积 Δ S \\Delta S ΔS，如下图所示

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P点内的应力集度可使用如下式定义的应力矢量 T ( n ) \\boldsymbol\{T(n)\} T(n)描述

KaTeX parse error: Undefined control sequence: \\vect at position 2: \\̲v̲e̲c̲t̲\{T(n)\}=\\lim\_\{\\D…

在笛卡尔坐标系下，应力矢量可以表示为

T ( n ) = T x e x + T y e y + T z e z (1.1) \\boldsymbol\{T(n)\}=T\_x \\boldsymbol\{e\}\_x +T\_y \\boldsymbol\{e\}\_y +T\_z \\boldsymbol\{e\}\_z \\tag\{1.1\} T(n)=Txex\+Tyey\+Tzez(1.1)

在P点的领域内截取一个微六面体，若微面的外法线方向与坐标轴的正方向一直，则称为正面；若与坐标轴正方向相反，则称为负面。每个应力矢量沿空间坐标轴的3个分量中，一个分量垂直于作用面，用 σ \\sigma σ表示，两个分量平行与作用面，是剪应力，用 τ \\tau τ表示

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 T ( e x ) = σ x x e x + τ x y e y + τ x z e z T ( e y ) = τ y x e x + σ y y e y + τ y z e z T ( e z ) = τ z x e x + τ z y e z + σ z z e z (1.3) \\boldsymbol\{T(e\_x)\}=\\sigma\_\{xx\}\\boldsymbol\{e\}\_x+\\tau\_\{xy\} \\boldsymbol\{e\}\_y+\\tau\_\{xz\}\\boldsymbol\{e\}\_z\\\\ \\boldsymbol\{T(e\_y)\}=\\tau\_\{yx\} \\boldsymbol\{e\}\_x+\\sigma\_\{yy\}\\boldsymbol\{e\}\_y+\\tau\_\{yz\}\\boldsymbol\{e\}\_z\\\\ \\boldsymbol\{T(e\_z)\}=\\tau\_\{zx\} \\boldsymbol\{e\}\_x+\\tau\_\{zy\}\\boldsymbol\{e\}\_z+\\sigma\_\{zz\}\\boldsymbol\{e\}\_z \\tag\{1.3\} T(ex)=σxxex\+τxyey\+τxzezT(ey)=τyxex\+σyyey\+τyzezT(ez)=τzxex\+τzyez\+σzzez(1.3)  
式中每个应力分量有两个下标，前一个下标代表作用面的外法线方向，后一个下标代表应力的作用方向。为了简便起见，以后正应力的两个相同下表只保留其中一个。3个应力矢量共9个分量，使用张量的记法，9个应力分量记为  
 \[ σ i j \] = \[ σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 \] \[\\sigma\_\{ij\}\]= \\left\[ \\begin\{matrix\} \\sigma\_\{11\} & \\sigma\_\{12\} & \\sigma\_\{13\}\\\\ \\sigma\_\{21\} &\\sigma\_\{22\} &\\sigma\_\{23\} \\\\ \\sigma\_\{31\} & \\sigma\_\{32\} & \\sigma\_\{33\} \\end\{matrix\} \\right\] \[σij\]=⎣⎡σ11σ21σ31σ12σ22σ32σ13σ23σ33⎦⎤  
应力正负号规定：正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负；负面上的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。式（1.3）使用张量记法可以表示为  
 T ( e i ) = σ i k e k (1.4) \\boldsymbol\{T(e\_i)\}=\\sigma\_\{i \\boldsymbol k\} \\boldsymbol\{e\_k\} \\tag \{1.4\} T(ei)=σikek(1.4)

## Cauchy应力公式（斜面应力公式） ##

![\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-9omZLO5w-1593706391177)(image/Elastic\_plastic\_004.png)\]][img-9omZLO5w-1593706391177_image_Elastic_plastic_004.png]

斜面上的应力矢量  
 T ( n ) = T ( e x ) l + T ( e y ) m + T ( e z ) n (1.5) \\boldsymbol\{T(n)\}=\\boldsymbol\{T\}(\\boldsymbol e\_x) l+\\boldsymbol\{T\}(\\boldsymbol e\_y)m+\\boldsymbol\{T\}(\\boldsymbol e\_z)n \\tag\{1.5\} T(n)=T(ex)l\+T(ey)m\+T(ez)n(1.5)  
这就是著名的Cauchy公式，又称斜面应力公式，其实质是微四面体的平衡条件。

式（1.5）用分量的形式表示为  
 T x = σ x l + τ y x m + τ z x n T y = τ x y + σ y m + τ z y n T z = τ x z + τ y z m + σ z n (1.6) T\_x=\\sigma\_\{x\}l+\\tau \_\{yx\}m+\\tau\_\{zx\}n \\\\ T\_y=\\tau\_\{xy\}+\\sigma\_\{y\}m+\\tau\_\{zy\}n \\\\ T\_z=\\tau\_\{xz\}+\\tau\_\{yz\}m+\\sigma\_\{z\} n \\tag\{1.6\} Tx=σxl\+τyxm\+τzxnTy=τxy\+σym\+τzynTz=τxz\+τyzm\+σzn(1.6)  
使用张量指标记法，式（1.5）和式（1.6）可分别表示为  
 T ( n ) = n i T ( e i ) (1.7a) \\boldsymbol\{T(n)\}=n\_i \\boldsymbol\{T\}(\\boldsymbol\{e\}\_i) \\tag\{1.7a\} T(n)=niT(ei)(1.7a)

T i = n i σ i j (1.7b) T\_i=n\_i \\sigma\_\{ij\} \\tag\{1.7b\} Ti=niσij(1.7b)

Cauchy公式有两个重要的应用：

（1）求斜面的各种应力。

（2）确定力的边界条件。

## 平衡微分方程 ##

根据应力函数的连续性、Taylor级数知识，以六面体微元推导。

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 ∂ σ x ∂ x + ∂ τ y z ∂ y + ∂ τ z x ∂ z + F x = 0 (1.10a) \\frac \{\\partial \\sigma \_x\}\{\\partial x\}+\\frac \{\\partial \\tau\_\{yz\}\}\{\\partial y\}+\\frac \{\\partial \\tau\_\{zx\}\}\{\\partial z\}+F\_x=0 \\tag\{1.10a\} ∂x∂σx\+∂y∂τyz\+∂z∂τzx\+Fx=0(1.10a)

∂ τ x y ∂ x + ∂ σ y ∂ y + ∂ τ z y ∂ z + F y = 0 (1.11b) \\frac\{\\partial \\tau\_\{xy\}\}\{\\partial x\}+\\frac \{\\partial \\sigma\_\{y\}\}\{\\partial y\}+\\frac\{\\partial \\tau\_\{zy\}\}\{\\partial z\}+F\_y=0 \\tag\{1.11b\} ∂x∂τxy\+∂y∂σy\+∂z∂τzy\+Fy=0(1.11b)

∂ τ x z ∂ x + ∂ τ y z ∂ y + ∂ σ z ∂ z + F z = 0 (1.11c) \\frac\{\\partial \\tau\_\{xz\}\}\{\\partial x\}+\\frac\{\\partial \\tau\_\{yz\}\}\{\\partial y\}+\\frac \{\\partial \\sigma\_\{z\}\}\{\\partial z\}+F\_z=0 \\tag\{1.11c\} ∂x∂τxz\+∂y∂τyz\+∂z∂σz\+Fz=0(1.11c)

平衡方程的张量表示为  
 σ i j , i + F j = 0 (1.13) \\sigma\_\{ij,i\}+F\_j=0 \\tag\{1.13\} σij,i\+Fj=0(1.13)  
式中  
 σ i j , i = ∂ σ 1 j ∂ x 1 + ∂ σ 2 j ∂ x 2 + ∂ σ 3 j ∂ x 3 \\sigma\_\{ij,i\}=\\frac\{\\partial \\sigma\_\{1j\}\}\{\\partial x\_1\}+\\frac\{\\partial\{\\sigma\_\{2j\}\}\}\{\\partial x\_2\}+\\frac\{\\partial \\sigma\_\{3j\}\}\{\\partial x\_3\} σij,i=∂x1∂σ1j\+∂x2∂σ2j\+∂x3∂σ3j

## 边界条件 ##

当物体的一部分边界上给定了分布的表面力，称这部分边界为力边界，使用 S σ S\_\\sigma Sσ表示。力边界条件指边界上个点的应力与已知表面力应满足的关系。力的边界条件实质上是物体边界点的平衡条件。如下图，对照Cauchy公式，则该店的应力分量应满足下式  
 σ x l + τ y x m + τ z x = T ‾ x (1.14a) \\sigma\_xl+\\tau\_\{yx\}m+\\tau\_\{zx\}=\\overline\{T\}\_x \\tag\{1.14a\} σxl\+τyxm\+τzx=Tx(1.14a)

τ x y l + σ y m + τ z y = T ‾ y (1.14b) \\tau\_\{xy\}l+\\sigma\_\{y\}m+\\tau\_\{zy\}=\\overline\{T\}\_y \\tag\{1.14b\} τxyl\+σym\+τzy=Ty(1.14b)

τ x z l + τ y z m + τ z n = T ‾ z (1.14c) \\tau\_\{xz\}l+\\tau\_\{yz\}m+\\tau\_\{z\}n=\\overline\{T\}\_z \\tag\{1.14c\} τxzl\+τyzm\+τzn=Tz(1.14c)

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dhbGF4eV9Sb2JvdA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

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1.  陈明祥. 弹塑性力学\[M\]. 北京: 科学出版社, 2007. ↩︎

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