应力分析(3)

Bertha 。 2023-02-26 02:27 13阅读 0赞

# 应力分析（3）1 #

## 八面体上的剪应力与正应力 ##

考虑物体中的一点，过该点作一外法线 n n n与3个应力主方向有相同角度的斜面，它的3个方向余弦是  
 ( l , m , n ) = ( ± 1 3 , ± 1 3 , ± 1 3 ) (l,m,n)=(\\pm\\frac\{1\}\{\\sqrt\{3\}\},\\pm\\frac\{1\}\{\\sqrt\{3\}\},\\pm\\frac\{1\}\{\\sqrt\{3\}\}) (l,m,n)=(±31,±31,±31)  
这样的斜面我们称为等倾面，一共有8个，由这8个等倾面构成的微单元体，称为八面体，其中三个坐标轴沿着3个应力主应力方向。

\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-r8hBIzrP-1594655033079)(image\\八面体微元.png)\]

使用式（1.32）和式（1.30），很容易求得八面体等倾面上的剪应力和正应力分别为  
 τ 0 = 1 3 ( σ 1 − σ 2 ) 2 + ( σ 2 − σ 1 ) 2 + ( σ 3 − σ 1 ) 2 σ 0 = 1 3 ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) \\tau\_0=\\frac\{1\}\{3\}\\sqrt\{(\\sigma\_1-\\sigma\_2)^2+(\\sigma\_2-\\sigma\_1)^2+(\\sigma\_3-\\sigma\_1)^2\}\\\\ \\sigma\_0=\\frac\{1\}\{3\}(\\sigma\_1+\\sigma\_2+\\sigma\_3) τ0=31(σ1−σ2)2\+(σ2−σ1)2\+(σ3−σ1)2σ0=31(σ1\+σ2\+σ3)  
前者与偏应力第二不变量成比例，而后者就是该微单元体的平均应力。考虑后面的式（1.51），则八面体剪应力还可以表示为  
 τ 0 = 2 3 J 2 = 1 3 s i j s i j (1.49) \\tau\_0=\\sqrt\{\\frac\{2\}\{3\}J\_2\}=\\sqrt\{\\frac\{1\}\{3\}s\_\{ij\}s\_\{ij\}\} \\tag\{1.49\} τ0=32J2=31sijsij(1.49)  
可以证明  
 1 ≤ 3 2 τ 0 τ m a x ≤ 2 3 1\\leq\\sqrt\{\\frac\{3\}\{2\}\}\\frac\{\\tau\_0\}\{\\tau\_\{max\}\}\\leq\\frac\{2\}\{\\sqrt\{3\}\} 1≤23τmaxτ0≤32

## 等效应力 ##

等效应力定义为  
 σ ‾ = 3 2 s i j s i j = 3 J 2 (1.50) \\overline \{\\sigma \}=\\sqrt\{\\frac\{3\}\{2\}s\_\{ij\}s\_\{ij\}\}=\\sqrt\{3J\_2\} \\tag\{1.50\} σ=23sijsij=3J2(1.50)  
在式（1.43）中若将 x , y , z x,y,z x,y,z轴取为主轴，则 J 2 J\_2 J2可由主营表示为  
 J 2 = 1 6 \[ ( σ 1 − σ 2 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2 + ( σ 3 − σ 1 ) 2 \] (1.51) J\_2=\\frac\{1\}\{6\}\[(\\sigma\_1-\\sigma\_2)^2+(\\sigma\_2-\\sigma\_3)^2+(\\sigma\_3-\\sigma\_1)^2\] \\tag\{1.51\} J2=61\[(σ1−σ2)2\+(σ2−σ3)2\+(σ3−σ1)2\](1.51)  
于是，等效应力用主应力表示为  
 σ ‾ = 1 2 ( σ 1 − σ 2 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2 + ( σ 3 − σ 1 ) 2 (1.52) \\overline\\sigma=\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\}\}\\sqrt\{(\\sigma\_1-\\sigma\_2)^2+(\\sigma\_2-\\sigma\_3)^2+(\\sigma\_3-\\sigma\_1)^2\} \\tag\{1.52\} σ=21(σ1−σ2)2\+(σ2−σ3)2\+(σ3−σ1)2(1.52)  
单轴拉伸时，应力状态为 σ 1 = σ , σ 2 = σ 3 = 0 \\sigma\_1=\\sigma,\\sigma\_2=\\sigma\_3=0 σ1=σ,σ2=σ3=0,代入式（1.52），得  
 σ ‾ = σ \\overline\\sigma=\\sigma σ=σ

## 主应力空间与 π \\pi π平面 ##

建立由 σ 1 、 σ 2 、 σ 3 \\sigma\_1、\\sigma\_2、\\sigma\_3 σ1、σ2、σ3为坐标轴的直角坐标系，称之为主应力空间。主应力空间中任意一坐标点P( σ 1 , σ 2 , σ 3 \\sigma\_1,\\sigma\_2,\\sigma\_3 σ1,σ2,σ3)就代表物体一点的应力状态，使用 e 1 、 e 2 、 e 3 \\boldsymbol\{e\}\_1、\\boldsymbol\{e\}\_2、\\boldsymbol\{e\}\_3 e1、e2、e3表示主应力空间中3个坐标轴方向的单位矢量，点P的位置矢量是  
 O P = σ 1 e 1 + σ 2 e 2 + σ 3 e 3 \\boldsymbol\{OP\}=\\sigma\_1\\boldsymbol\{e\}\_1+\\sigma\_2\\boldsymbol\{e\}\_2+\\sigma\_3\\boldsymbol\{e\}\_3 OP=σ1e1\+σ2e2\+σ3e3  
在主应力空间，过原点 O O O做一条与3个坐标轴具有相同夹角的直线，该直线上所代表的应力状态均为  
 σ 1 = σ 2 = σ 3 \\sigma\_1=\\sigma\_2=\\sigma\_3 σ1=σ2=σ3  
为进水压力状态，称该直线为静水压力轴。

过原点 O O O以静水压力轴为法线作一个平面，称为 π \\pi π平面，该平面上任意一点所带表的应力状态有  
 σ 1 + σ 2 + σ 3 = 0 \\sigma\_1+\\sigma\_2+\\sigma\_3=0 σ1\+σ2\+σ3=0  
为偏应力状态。

几何上，代表任意一应力状态的矢量 O P ⃗ \\vec\{OP\} OP可分解为在静水压力轴上的投影和在 π \\pi π平面上投影的矢量和，这就直观地给出了任意应力状态分解为偏应力部分与进水压力部分之和。实际上  
 O P = ( s 1 + σ 0 ) e 1 + ( s 2 + σ 0 ) e 2 + ( s 3 + σ 0 ) e 3 = ( s 1 e 1 + s 2 e 2 + s 3 e 3 ) + ( σ 0 e 1 ) + σ 0 e 2 + σ 0 e 3 = O Q + O N \\boldsymbol\{OP\}=(s\_1+\\sigma\_0)\\boldsymbol\{e\}\_1+(s\_2+\\sigma\_0)\\boldsymbol\{e\}\_2+(s\_3+\\sigma\_0)\\boldsymbol\{e\}\_3\\\\ =(s\_1\\boldsymbol\{e\}\_1+s\_2\\boldsymbol\{e\}\_2+s\_3\\boldsymbol\{e\}\_3 )+(\\sigma\_0\\boldsymbol\{e\}\_1)+\\sigma\_0\\boldsymbol\{e\}\_2+\\sigma\_0\\boldsymbol\{e\}\_3 \\\\ =\\boldsymbol\{OQ\}+\\boldsymbol\{ON\} OP=(s1\+σ0)e1\+(s2\+σ0)e2\+(s3\+σ0)e3=(s1e1\+s2e2\+s3e3)\+(σ0e1)\+σ0e2\+σ0e3=OQ\+ON  
式中 s i s\_i si是主偏应力； σ 0 \\sigma\_0 σ0是平均应力。如图所示， O Q ⃗ \\vec\{OQ\} OQ代表主偏应力矢量，位于 π \\pi π平面上； O N ⃗ \\vec\{ON\} ON代表静水压力矢量，位于静水压力轴线上。

![在这里插入图片描述][202007132346322.PNG_pic_center]

--------------------

1.  陈明祥. 弹塑性力学\[M\]. 北京: 科学出版社, 2007. ↩︎

[202007132346322.PNG_pic_center]: /images/20230209/1b16dc0af1434e3d888bdca5901b78cf.png