应力分析(2)

- 日理万妓 2023-02-22 13:44 15阅读 0赞

# 应力分析（2）1 #

## 应力分量的坐标变换 ##

新坐标系中的3个正面分别看作是旧坐标系中的斜面，应用斜面公式（Cauchy公式），可以导出新旧坐标系中应力分量的变换关系。

\[ σ ′ \] = \[ β \] \[ σ \] \[ β \] T (1.20) \[\\sigma ^\\prime\]=\[\\beta\]\[\\sigma\]\[\\beta\]^T \\tag\{1.20\} \[σ′\]=\[β\]\[σ\]\[β\]T(1.20)

式中 \[ β \] \[\\beta\] \[β\]为新坐标系三个基矢量在旧坐标系三个轴上的投影组成的矩阵。

\[ β \] = \[ l 1 m 1 n 1 l 2 m 2 n 2 l 3 m 3 n 3 \] \[\\beta\]=\\left \[ \\begin\{matrix\} l\_1 & m\_1 & n\_1\\\\ l\_2 & m\_2 & n\_2 \\\\ l\_3 & m\_3 & n\_3 \\end\{matrix\} \\right \] \[β\]=⎣⎡l1l2l3m1m2m3n1n2n3⎦⎤， \[ σ \] = \[ σ x τ x y τ x z τ y x σ y τ y z τ z x τ z y σ z \] \[\\sigma\]=\\left \[ \\begin\{matrix\} \\sigma\_x & \\tau\_\{xy\} &\\tau\_\{xz\}\\\\ \\tau\_\{yx\} & \\sigma\_y & \\tau\_\{yz\} \\\\ \\tau\_\{zx\} & \\tau\_\{zy\} & \\sigma\_z \\end\{matrix\} \\right\] \[σ\]=⎣⎡σxτyxτzxτxyσyτzyτxzτyzσz⎦⎤

张量表示为  
 σ m ′ n ′ = β m ′ i β n ′ j σ i j (1.22) \\sigma\_\{m'n'\}=\\beta\_\{m'i\}\\beta\_\{n'j\}\\sigma\_\{ij\} \\tag\{1.22\} σm′n′=βm′iβn′jσij(1.22)  
式中 β n ′ j = e ′ n ′ ⋅ e j \\beta\_\{n'j\}=\\boldsymbol\{e'\}\_\{n'\}\\cdot \\boldsymbol\{e\}\_j βn′j=e′n′⋅ej是 e ′ n ′ \\boldsymbol\{e'\}\_\{n'\} e′n′在 e j \\boldsymbol\{e\}\_j ej上的投影。

## 主应力、应力张量不变量 ##

根据斜面公式，给定一点的应力状态，即 σ \\sigma σ已知，各斜面上的应力矢量 T ( n ) \\boldsymbol\{T(n)\} T(n)随斜面外法线方向 n \\boldsymbol\{n\} n而改变。根据材料力学知识，在所有的斜面中存在这样的一个面，该面上只有正应力作用，而剪应力为零，即该面上的应力矢量 T ( n ) \\boldsymbol\{T(n)\} T(n)只有沿法线方向的分量。下面求这个斜面的单位法线矢量 n \\boldsymbol\{n\} n以及该面上的正应力 σ \\sigma σ。  
正应力与该面上的应力矢量的关系可表示为

T ( n ) = σ n \\boldsymbol\{T(n)\}=\\sigma \\boldsymbol\{n\} T(n)=σn

写成分量形式为  
 T x = σ l , T y = σ m , T z = σ n T\_x=\\sigma l,T\_y=\\sigma m,T\_z=\\sigma n Tx=σl,Ty=σm,Tz=σn

代入应力分析（1）的公式（1.6）  
 T x = σ x l + τ y x m + τ z x n T y = τ x y + σ y m + τ z y n T z = τ x z + τ y z m + σ z n (1.6) T\_x=\\sigma\_\{x\}l+\\tau \_\{yx\}m+\\tau\_\{zx\}n \\\\ T\_y=\\tau\_\{xy\}+\\sigma\_\{y\}m+\\tau\_\{zy\}n \\\\ T\_z=\\tau\_\{xz\}+\\tau\_\{yz\}m+\\sigma\_\{z\} n \\tag\{1.6\} Tx=σxl\+τyxm\+τzxnTy=τxy\+σym\+τzynTz=τxz\+τyzm\+σzn(1.6)

整理可得  
 ( σ x − σ ) l + τ y x m + τ z x n = 0 τ x y l + ( σ y − σ ) m + τ z y n = 0 τ x z l + τ y z m + ( σ z − σ ) n = 0 (1.23) (\\sigma\_x-\\sigma)l+\\tau\_\{yx\}m+\\tau\_\{zx\}n=0\\\\ \\tau\_\{xy\}l+(\\sigma\_y-\\sigma)m+\\tau\_\{zy\}n=0 \\\\ \\tau\_\{xz\}l+\\tau\_\{yz\}m+(\\sigma\_z-\\sigma)n=0 \\tag\{1.23\} (σx−σ)l\+τyxm\+τzxn=0τxyl\+(σy−σ)m\+τzyn=0τxzl\+τyzm\+(σz−σ)n=0(1.23)

式（1.23）是关于 l 、 m 、 n l、m、n l、m、n的齐次方程，由于 l 2 + m 2 + n 2 = 1 l^2+m^2+n^2=1 l2\+m2\+n2=1，因此， l 、 m 、 n l、m、n l、m、n不可能同时为零，即方程（1.23）应有非零解。非零解的条件是其系数矩阵行列式为零。  
 ∣ σ x − σ τ x y τ x z τ y x σ y − σ τ y z τ z x τ z y σ z − σ ∣ = 0 \\left| \\begin\{matrix\} \\sigma\_x-\\sigma &\\tau\_\{xy\} &\\tau\_\{xz\}\\\\ \\tau\_\{yx\} &\\sigma\_y-\\sigma &\\tau\_\{yz\}\\\\ \\tau\_\{zx\} &\\tau\_\{zy\} &\\sigma\_z-\\sigma \\end\{matrix\} \\right | =0 ∣∣∣∣∣∣σx−στyxτzxτxyσy−στzyτxzτyzσz−σ∣∣∣∣∣∣=0

展开可得一个一元三次方程组，该方程数学上称为特征方程  
 σ 3 − I 1 σ 2 + I 2 σ − I 3 = 0 (1.24) \\sigma^3-I\_1\\sigma^2+I\_2\\sigma-I\_3=0 \\tag\{1.24\} σ3−I1σ2\+I2σ−I3=0(1.24)

式中 I 1 、 I 2 、 I 3 I\_1、I\_2、I\_3 I1、I2、I3分别为  
 I 1 = σ x + σ y + σ z = σ k k I 2 = σ x σ y + σ x σ z + σ y σ z − ( τ x y 2 + τ y z 2 + τ z x 2 ) = ∣ σ x τ x y τ y x σ y ∣ + ∣ σ y τ y z τ z y σ z ∣ + ∣ σ z τ z x τ x z σ x ∣ I 3 = σ x σ y σ z − ( σ x τ y z 2 + σ y τ z x 2 + σ z τ x y 2 ) + 2 τ x y τ y z τ z x = ∣ σ x τ x y τ x z τ y z σ y τ y z τ z x τ z y σ z ∣ (1.25) I\_1=\\sigma\_x+\\sigma\_y+\\sigma\_z=\\sigma\_\{kk\} \\\\ I\_2=\\sigma\_x\\sigma\_y+\\sigma\_x\\sigma\_z+\\sigma\_y\\sigma\_z-(\\tau\_\{xy\}^2+\\tau\_\{yz\}^2+\\tau\_\{zx\}^2)\\\\ =\\left| \\begin\{matrix\} \\sigma\_x & \\tau\_\{xy\}\\\\ \\tau\_\{yx\} &\\sigma\_y \\end\{matrix\} \\right| + \\left| \\begin\{matrix\} \\sigma\_y & \\tau\_\{yz\}\\\\ \\tau\_\{zy\} &\\sigma\_z \\end\{matrix\} \\right| + \\left| \\begin\{matrix\} \\sigma\_z & \\tau\_\{zx\}\\\\ \\tau\_\{xz\} &\\sigma\_x \\end\{matrix\} \\right| \\\\ I\_3=\\sigma\_x\\sigma\_y\\sigma\_z-(\\sigma\_x\\tau\_\{yz\}^2+\\sigma\_y\\tau\_\{zx\}^2+\\sigma\_z\\tau\_\{xy\}^2)+2\\tau\_\{xy\}\\tau\_\{yz\}\\tau\_\{zx\} \\\\= \\left| \\begin\{matrix\} \\sigma\_x & \\tau\_\{xy\} &\\tau\_\{xz\}\\\\ \\tau\_\{yz\} &\\sigma\_y &\\tau\_\{yz\}\\\\ \\tau\_\{zx\} & \\tau\_\{zy\} &\\sigma\_z \\end\{matrix\} \\right| \\tag\{1.25\} I1=σx\+σy\+σz=σkkI2=σxσy\+σxσz\+σyσz−(τxy2\+τyz2\+τzx2)=∣∣∣∣σxτyxτxyσy∣∣∣∣\+∣∣∣∣σyτzyτyzσz∣∣∣∣\+∣∣∣∣σzτxzτzxσx∣∣∣∣I3=σxσyσz−(σxτyz2\+σyτzx2\+σzτxy2)\+2τxyτyzτzx=∣∣∣∣∣∣σxτyzτzxτxyσyτzyτxzτyzσz∣∣∣∣∣∣(1.25)  
使用张量表示为  
 I 1 = σ k k I 2 = 1 2 ( I 1 2 − σ i j σ i j ) I 3 = 1 3 ( 3 I 1 I 2 − I 1 3 ) + σ i j σ j k σ k i (1.26) I\_1=\\sigma\_\{kk\}\\\\ I\_2=\\frac\{1\}\{2\}(I\_1^2-\\sigma\_\{ij\}\\sigma\_\{ij\})\\\\ I\_3=\\frac\{1\}\{3\}(3I\_1I\_2-I\_1^3)+\\sigma\_\{ij\}\\sigma\_\{jk\}\\sigma\_\{ki\} \\tag\{1.26\} I1=σkkI2=21(I12−σijσij)I3=31(3I1I2−I13)\+σijσjkσki(1.26)  
主应力有3个重要性质：

1）极值性

最大（最小）主应力是该点任意面上正应力的最大（最小）者。

2）主方向互相垂直

3） I 1 、 I 2 、 I 3 I\_1、I\_2、I\_3 I1、I2、I3的坐标不变性

I 1 、 I 2 、 I 3 I\_1、I\_2、I\_3 I1、I2、I3的大小与坐标系的选取无关，因此是坐标不变量。

在以3个主轴为坐标轴的坐标系下，应力张量可表示为  
 \[ σ i j \] = \[ σ 1 0 0 0 σ 2 0 0 0 σ 3 \] \[\\sigma\_\{ij\}\]= \\left\[ \\begin\{matrix\} \\sigma\_1 &0 & 0 \\\\ 0 & \\sigma\_2 &0 \\\\ 0 & 0& \\sigma\_3 \\end\{matrix\} \\right\] \[σij\]=⎣⎡σ1000σ2000σ3⎦⎤  
三个不变量用主应力表示为  
 I 1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 I 2 = σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ 1 I 3 = σ 1 σ 2 σ 3 (1.28) I\_1=\\sigma\_1+\\sigma\_2+\\sigma\_3\\\\ I\_2=\\sigma\_1\\sigma\_2+\\sigma\_2\\sigma\_3+\\sigma\_3\\sigma\_1\\\\ I\_3=\\sigma\_1\\sigma\_2\\sigma\_3 \\tag\{1.28\} I1=σ1\+σ2\+σ3I2=σ1σ2\+σ2σ3\+σ3σ1I3=σ1σ2σ3(1.28)

## 最大剪应力 ##

设3个主应力及主应力方向已知，求最大剪应力。以3个主方向为其坐标轴方向，其单位矢量是KaTeX parse error: Undefined control sequence: \\vect at position 1: \\̲v̲e̲c̲t̲\{e\_1\}、\\vect \{e\_…，如图所示。推导思路：斜面公式–>求极值–>拉格朗日乘子。

该斜面上的应力矢量是  
 T ( n ) = T ( e 1 ) l + T ( e 2 ) m + T ( e 3 ) n = l σ 1 e 1 + m σ 2 e 2 + n σ 3 e 3 (1.29) \\boldsymbol\{T(n)\}=\\boldsymbol\{T\}(\\boldsymbol\{ e\}\_1)l+\\boldsymbol\{T\}(\\boldsymbol\{ e\}\_2)m+\\boldsymbol\{T\}(\\boldsymbol\{e\}\_3)n \\\\=l\\sigma\_1\\boldsymbol\{e\}\_1+m\\sigma\_2\\boldsymbol\{e\}\_2+n\\sigma\_3\\boldsymbol\{e\}\_3 \\tag\{1.29\} T(n)=T(e1)l\+T(e2)m\+T(e3)n=lσ1e1\+mσ2e2\+nσ3e3(1.29)

该斜面上的正应力是  
 σ n = T ( n ) ⋅ n = l 2 σ 1 + m 2 σ 2 + n 2 σ 3 (1.30) \\sigma\_n=\\boldsymbol\{T\}(\\boldsymbol\{n\})\\cdot \\boldsymbol\{n\}=l^2\\sigma\_1+m^2\\sigma\_2+n^2\\sigma\_3 \\tag\{1.30\} σn=T(n)⋅n=l2σ1\+m2σ2\+n2σ3(1.30)  
斜面上的剪应力为  
 τ n 2 = ∥ T ∥ 2 − σ n 2 (1.32) \\tau\_n^2=\\|\\boldsymbol\{T\}\\|^2-\\sigma\_n^2 \\tag\{1.32\} τn2=∥T∥2−σn2(1.32)

结果：设 σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 \\sigma\_1\\geq\\sigma\_2\\geq\\sigma\_3 σ1≥σ2≥σ3，则最大剪应力是  
 τ m a x = σ 1 − σ 3 2 (1.33) \\tau\_\{max\}=\\frac\{\\sigma\_1-\\sigma\_3\}\{2\} \\tag\{1.33\} τmax=2σ1−σ3(1.33)  
所在的平面与中应力 σ 2 \\sigma\_2 σ2平行而与最大主应力 σ 3 \\sigma\_3 σ3和最小主应力 σ 3 \\sigma\_3 σ3的角度分别为 4 5 ∘ 45^\\circ 45∘。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dhbGF4eV9Sb2JvdA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

## Mohr应力圆 ##

根据式（1.30）和式（1.32），任一斜面上的正应力 σ n \\sigma\_n σn和剪应力 τ n \\tau\_n τn随斜面外法线方向余弦l、m、n而变化，将每一个斜面上的 σ n \\sigma\_n σn和 τ n \\tau\_n τn使用 σ − τ \\sigma - \\tau σ−τ坐标系上的坐标点表示，所有这些坐标点所组成的图形称之为Mohr图。

设 σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 \\sigma\_1\\geq\\sigma\_2\\geq\\sigma\_3 σ1≥σ2≥σ3，可推导出应力圆  
 τ n 2 + ( σ n − σ 2 + σ 3 2 ) 2 ≥ ( σ 2 − σ 3 2 ) 2 τ n 2 + ( σ n − σ 3 + σ 1 2 ) 2 ≤ ( σ 3 − σ 1 2 ) 2 τ n 2 + ( σ n − σ 1 + σ 2 2 ) 2 ≥ ( σ 1 − σ 2 2 ) 2 \\tau\_n^2+(\\sigma\_n-\\frac\{\\sigma\_2+\\sigma\_3\}\{2\})^2\\geq(\\frac \{\\sigma\_2-\\sigma\_3\}\{2\})^2\\\\ \\tau\_n^2+(\\sigma\_n-\\frac\{\\sigma\_3+\\sigma\_1\}\{2\})^2\\leq(\\frac\{\\sigma\_3-\\sigma\_1\}\{2\})^2\\\\ \\tau\_n^2+(\\sigma\_n-\\frac\{\\sigma\_1+\\sigma\_2\}\{2\})^2\\geq(\\frac\{\\sigma\_1-\\sigma\_2\}\{2\})^2 τn2\+(σn−2σ2\+σ3)2≥(2σ2−σ3)2τn2\+(σn−2σ3\+σ1)2≤(2σ3−σ1)2τn2\+(σn−2σ1\+σ2)2≥(2σ1−σ2)2  
由这三个不等式可知：任意一斜面的应力 σ n 、 τ n \\sigma\_n、\\tau\_n σn、τn在 σ − τ \\sigma - \\tau σ−τ坐标系中，均落在 σ 1 、 σ 2 、 σ 3 \\sigma\_1、\\sigma\_2、\\sigma\_3 σ1、σ2、σ3决定的3个圆上或者圆之间的阴影面积内。如下图所示，这三个圆称之为Mohr应力圆，简称为Mohr圆或应力圆。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dhbGF4eV9Sb2JvdA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

## 偏应力张量及其不变量 ##

一点的应力状态可以分解为：静水压力状态和偏应力状态之和。静水压力状态是指微六面体的每个面上只有正应力作用，而剪应力为零，正应力大小均为平均应力  
 σ 0 = 1 3 ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) (1.40) \\sigma\_0=\\frac\{1\}\{3\}(\\sigma\_1+\\sigma\_2+\\sigma\_3) \\tag\{1.40\} σ0=31(σ1\+σ2\+σ3)(1.40)  
即  
 \[ σ 0 δ i j \] = \[ σ 0 0 0 0 σ 0 0 0 0 σ 0 \] \[\\sigma\_0\\delta\_\{ij\}\]= \\left\[ \\begin\{matrix\} \\sigma\_0 & 0 &0\\\\ 0 & \\sigma\_0 & 0\\\\ 0 & 0 & \\sigma\_0 \\end\{matrix\} \\right\] \[σ0δij\]=⎣⎡σ0000σ0000σ0⎦⎤  
式中 δ i j \\delta\_\{ij\} δij是Kronecker符号。 σ 0 δ i j \\sigma\_0\\delta\_\{ij\} σ0δij称为球形张量。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dhbGF4eV9Sb2JvdA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]

偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分，表示为  
 \[ s i j \] = \[ σ x − σ 0 τ x y τ x z τ y x σ y − σ 0 τ y z τ z x τ z y σ z − σ 0 \] (1.41) \[s\_\{ij\}\]= \\left\[ \\begin\{matrix\} \\sigma\_x -\\sigma\_0 & \\tau\_\{xy\} & \\tau\_\{xz\} \\\\ \\tau\_\{yx\} &\\sigma\_y -\\sigma\_0 & \\tau\_\{yz\}\\\\ \\tau\_\{zx\} & \\tau\_\{zy\} &\\sigma\_z-\\sigma\_0 \\end\{matrix\} \\right\] \\tag\{1.41\} \[sij\]=⎣⎡σx−σ0τyxτzxτxyσy−σ0τzyτxzτyzσz−σ0⎦⎤(1.41)  
偏应力 s i j s\_\{ij\} sij也是一个对称的二阶张量。

上述的应力分解用张量表示为  
 σ i j = s i j + σ 0 δ i j \\sigma\_\{ij\}=s\_\{ij\}+\\sigma\_0\\delta\_\{ij\} σij=sij\+σ0δij

### 静水压力状态的特点 ###

任意斜面上的剪应力为零；Mohr应力圆退化为 σ \\sigma σ轴上的一点；这是一种各个面上应力都相同的状态。

### 偏应力的主值和不变量 ###

偏应力张量 s i j s\_\{ij\} sij所代表的应力状态有什么的特点？将式（1.24）和试（1.25）中的 σ i j \\sigma\_\{ij\} σij用 s i j s\_\{ij\} sij替代，则求得偏应力主值的特征方程为  
 s 3 − J 1 s 2 − J 2 s − J 3 = 0 (1.42) \\boldsymbol\{s\}^3-J\_1\\boldsymbol\{s\}^2-J\_2\\boldsymbol\{ s\}-J\_3=0 \\tag\{1.42\} s3−J1s2−J2s−J3=0(1.42)  
式中  
 J 1 = σ x − σ 0 + σ y − σ 0 + σ z − σ 0 = s k k = 0 J 2 = − ∣ σ x − σ 0 τ x y τ y z σ y − σ 0 ∣ − ∣ σ y − σ 0 τ y z τ x y σ z − σ 0 ∣ − ∣ σ z − σ 0 τ z x τ x z σ x − σ 0 ∣ = 1 6 \[ ( σ x − σ y ) 2 + ( σ y − σ z ) 2 + ( σ z − σ x ) 2 − 6 ( τ x y 2 + τ y z 2 − τ z x 2 ) \] = 1 2 s i j s i j J 3 = ∣ σ x − σ 0 τ x y τ x z τ y x σ y − σ 0 τ y z τ z x τ z y σ z − σ 0 ∣ = 1 3 s i j s j k s k i (1.43) J\_1=\\sigma\_x-\\sigma\_0+\\sigma\_y-\\sigma\_0+\\sigma\_z-\\sigma\_0=s\_\{kk\}=0\\\\ J\_2= -\\left| \\begin\{matrix\} \\sigma\_x-\\sigma\_0 &\\tau\_\{xy\}\\\\ \\tau\_\{yz\} &\\sigma\_y-\\sigma\_0 \\end\{matrix\} \\right| -\\left| \\begin\{matrix\} \\sigma\_y-\\sigma\_0 &\\tau\_\{yz\}\\\\ \\tau\_\{xy\} &\\sigma\_z-\\sigma\_0 \\end\{matrix\} \\right| -\\left| \\begin\{matrix\} \\sigma\_z-\\sigma\_0 &\\tau\_\{zx\}\\\\ \\tau\_\{xz\} &\\sigma\_x-\\sigma\_0 \\end\{matrix\} \\right| \\\\ =\\frac\{1\}\{6\}\[(\\sigma\_x-\\sigma\_y)^2+(\\sigma\_y-\\sigma\_z)^2+(\\sigma\_z-\\sigma\_x)^2-6(\\tau\_\{xy\}^2+\\tau\_\{yz\}^2-\\tau\_\{zx\}^2)\]=\\frac\{1\}\{2\}s\_\{ij\}s\_\{ij\} \\\\ J\_3= \\left| \\begin\{matrix\} \\sigma\_x-\\sigma\_0 & \\tau\_\{xy\} & \\tau\_\{xz\} \\\\ \\tau\_\{yx\} & \\sigma\_y-\\sigma\_0 & \\tau\_\{yz\} \\\\ \\tau\_\{zx\} & \\tau\_\{zy\} &\\sigma\_z-\\sigma\_0 \\end\{matrix\} \\right| =\\frac\{1\}\{3\}s\_\{ij\}s\_\{jk\}s\_\{ki\} \\tag\{1.43\} J1=σx−σ0\+σy−σ0\+σz−σ0=skk=0J2=−∣∣∣∣σx−σ0τyzτxyσy−σ0∣∣∣∣−∣∣∣∣σy−σ0τxyτyzσz−σ0∣∣∣∣−∣∣∣∣σz−σ0τxzτzxσx−σ0∣∣∣∣=61\[(σx−σy)2\+(σy−σz)2\+(σz−σx)2−6(τxy2\+τyz2−τzx2)\]=21sijsijJ3=∣∣∣∣∣∣σx−σ0τyxτzxτxyσy−σ0τzyτxzτyzσz−σ0∣∣∣∣∣∣=31sijsjkski(1.43)

解方程（1.42）可得偏应力的三个主值  
 s 1 = 2 J 2 3 sin ⁡ ( θ σ + 2 π 3 ) s 2 = 2 J 2 3 sin ⁡ ( θ σ ) s 3 = 2 J 2 3 sin ⁡ ( θ σ − 2 π 3 ) (1.44) s\_1=\\frac\{2\\sqrt\{J\_2\}\}\{\\sqrt\{3\}\}\\sin \\left (\\theta\_\\sigma+\\frac\{2\\pi\}\{\\sqrt\{3\}\} \\right)\\\\ s\_2=\\frac\{2\\sqrt\{J\_2\}\}\{\\sqrt\{3\}\}\\sin(\\theta\_\\sigma) \\\\ s\_3=\\frac\{2\\sqrt\{J\_2\}\}\{3\}\\sin\\left( \\theta\_\\sigma-\\frac\{2\\pi\}\{3\}\\right) \\tag\{1.44\} s1=32J2sin(θσ\+32π)s2=32J2sin(θσ)s3=32J2sin(θσ−32π)(1.44)  
式中 θ σ \\theta\_\\sigma θσ称为Lode角，为  
 θ σ = 1 3 s i n − 1 \[ − 27 J 3 2 ( J 2 ) 3 / 2 \] (1.45) \\theta\_\\sigma=\\frac\{1\}\{3\}sin^\{-1\}\\left\[ \\frac\{-\\sqrt\{27\}J\_3\}\{2(J\_2)^\{3/2\}\}\\right\] \\tag\{1.45\} θσ=31sin−1\[2(J2)3/2−27J3\](1.45)  
由应力状态分解的关系（1.41）可以得出主应力可表示为  
 σ 1 = 2 J 2 3 sin ⁡ ( θ σ + 2 π 3 ) + σ 0 σ 2 = 2 J 2 3 sin ⁡ ( θ σ ) + σ 0 σ 3 = 2 J 2 3 sin ⁡ ( θ σ − 2 π 3 ) + σ 0 \\sigma\_1=\\frac\{2\\sqrt\{J\_2\}\}\{\\sqrt\{3\}\}\\sin \\left (\\theta\_\\sigma+\\frac\{2\\pi\}\{\\sqrt\{3\}\} \\right)+\\sigma\_0\\\\ \\sigma\_2=\\frac\{2\\sqrt\{J\_2\}\}\{\\sqrt\{3\}\}\\sin(\\theta\_\\sigma) +\\sigma\_0\\\\ \\sigma\_3=\\frac\{2\\sqrt\{J\_2\}\}\{3\}\\sin\\left( \\theta\_\\sigma-\\frac\{2\\pi\}\{3\}\\right)+\\sigma\_0 σ1=32J2sin(θσ\+32π)\+σ0σ2=32J2sin(θσ)\+σ0σ3=32J2sin(θσ−32π)\+σ0

表示为  
 σ 1 = 2 J 2 3 sin ⁡ ( θ σ + 2 π 3 ) + σ 0 σ 2 = 2 J 2 3 sin ⁡ ( θ σ ) + σ 0 σ 3 = 2 J 2 3 sin ⁡ ( θ σ − 2 π 3 ) + σ 0 \\sigma\_1=\\frac\{2\\sqrt\{J\_2\}\}\{\\sqrt\{3\}\}\\sin \\left (\\theta\_\\sigma+\\frac\{2\\pi\}\{\\sqrt\{3\}\} \\right)+\\sigma\_0\\\\ \\sigma\_2=\\frac\{2\\sqrt\{J\_2\}\}\{\\sqrt\{3\}\}\\sin(\\theta\_\\sigma) +\\sigma\_0\\\\ \\sigma\_3=\\frac\{2\\sqrt\{J\_2\}\}\{3\}\\sin\\left( \\theta\_\\sigma-\\frac\{2\\pi\}\{3\}\\right)+\\sigma\_0 σ1=32J2sin(θσ\+32π)\+σ0σ2=32J2sin(θσ)\+σ0σ3=32J2sin(θσ−32π)\+σ0

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1.  陈明祥. 弹塑性力学\[M\]. 北京: 科学出版社, 2007. ↩︎

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