Java数据结构与算法_11 图 （深度优先遍历、广度优先遍历）

ゞ 浴缸里的玫瑰 2023-07-15 13:15 132阅读 0赞

Java数据结构与算法_11 图

  • 图基本介绍
  • 图的常用概念
  • 图的表示方式
    • 完整代码
  • 图的遍历
    • 深度优先遍历基本思想
    • 广度优先遍历基本思想
    • 完整代码

本人是个新手，写下博客用于自我复习、自我总结。
如有错误之处，请各位大佬指出。
学习资料来源于：尚硅谷

图基本介绍

为什么要有图？

前面出现了线性表和树。
线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系；
树也只能有一个直接前驱也就是父节点；
当我们需要表示多对多的关系时， 只有图能满足条件。

图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。如图：

在这里插入图片描述

图的常用概念

  1. 顶点(vertex)：如图
  2. 边(edge)：如图
  3. 无向图：顶点之间的连接没有方向，比如A-B：即可以是 A-> B 也可以 B->A 。
  4. 路径：比如从 D -> C 的路径有 ：D->B->C 或 D->A->B->C

在这里插入图片描述

  1. 有向图：顶点之间的连接有方向，比如A-B：只能是 A-> B 不能是 B->A 。如图

在这里插入图片描述

  1. 带权图：如图。这种边带权值的图也叫网。
    在这里插入图片描述

图的表示方式

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵。对于n个顶点的图而言，矩阵的row和col表示的是1…n个点。
在这里插入图片描述
邻接表

  1. 邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失。
  2. 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成
    在这里插入图片描述

接下来就只用邻接矩阵的方式编写代码。邻接表就不再赘述，和哈希表的实现一样。重要的是之后的图的遍历。

要求：代码实现如下图结构
在这里插入图片描述

完整代码

  1. import java.util.Arrays;
  3. public class Graph { 
  5.     private int[][] edges; // 存储图对应的邻结矩阵
  7.     public static void main(String[] args) { 
  8.         // 测试
  9.         int n = 5; // 结点的个数
  11.         // 创建图对象
  12.         Graph graph = new Graph(n);
  14.         // 添加边
  15.         // A-B A-C B-C B-D B-E
  16.         graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B
  17.         graph.insertEdge(0, 2, 1); // A-C
  18.         graph.insertEdge(1, 2, 1); // B-C
  19.         graph.insertEdge(1, 3, 1); // B-D
  20.         graph.insertEdge(1, 4, 1); // B-E
  22.         // 显示
  23.         graph.showGraph();
  25.     }
  27.     // 构造器
  28.     public Graph(int n) { 
  29.         // 初始化矩阵
  30.         edges = new int[n][n];
  31.     }
  33.     // 显示图对应的矩阵
  34.     public void showGraph() { 
  35.         for (int[] link : edges) { 
  36.             System.err.println(Arrays.toString(link));
  37.         }
  38.     }
  40.     // 添加边
  41.     /** * @param v1 * 表示点的下标是第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1 * @param v2 * 第二个顶点对应的下标 * @param weight * 表示连通性 */
  42.     public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) { 
  43.         edges[v1][v2] = weight;
  44.         edges[v2][v1] = weight;
  45.     }
  46. }

图的遍历

所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略： (1)深度优先遍历 (2)广度优先遍历

深度优先遍历基本思想

  1. 深度优先遍历，从初始访问结点出发，同时初始访问结点可能有多个邻接结点。深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
  2. 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
  3. 显然，深度优先搜索是一个递归的过程

深度优先遍历算法步骤：

  1. 访问初始结点v，并标记结点v为已访问。
  2. 查找结点v的第一个邻接结点w。
  3. 若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。
  4. 若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。
  5. 查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。

示例： 对下图进行深度优先遍历, 从A 开始遍历。

在这里插入图片描述

思路分析

  1. A 被访问， 入栈 。进一个顶点，则表示该顶点被访问
  2. B 被访问，入栈
  3. C 被访问，入栈
  4. A - D 不连接，因此 看栈顶的 C 是否能连接 D 。
    不通，所以回溯，将 C 弹出栈。
  5. 这时 栈顶值为 1 -> B , 将当前 currentIndex = stack.peek()
    //peek () 返回栈顶值
  6. 看看 1->B 是否可以连接到 D, 这时可以
  7. 3->D 入栈
  8. D - E 不连接 ， 3 -> D 出栈，并 进行 currentIndex = stack.peek()
  9. 看看 1->B 是否可以连接到 E, 这时可以
  10. 4->E 入栈
  11. 依次将栈的值弹出，直到 stack 为空，就退出 while循环

所以结果是：A B C D E

广度优先遍历基本思想

广度优先搜索 类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点。

广度优先遍历算法步骤：

  1. 访问初始结点v并标记结点v为已访问。
  2. 结点v入队列
  3. 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
  4. 出队列，取得队头结点u。
  5. 查找结点u的第一个邻接结点w。
  6. 若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：
    6.1 若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。
    6.2 结点w入队列
    6.3 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6。

示例： 对下图进行广度优先遍历, 从A 开始遍历。

在这里插入图片描述
简单说明：A入队后 ，A标记已访问，A出队。A的第一个邻接节点B，B标记已访问；A的下一个邻接节点C，C标记已访问。因为再没有邻接节点，所以回到步骤3。B出队。B的第一个邻接节点D，D标记已访问；D的下一个邻接节点E，E标记已访问。因为再没有邻接节点，所以回到步骤3。C出队，无邻接节点。D出队，无邻接节点。E出队，无邻接节点。结束。

结果为：A B C D E

上面的示例看不出什么效果，接下来看另一个示例：

在这里插入图片描述
深度优先遍历顺序为 1->2->4->8->5->3->6->7
广度优先算法的遍历顺序为：1->2->3->4->5->6->7->8

（如果不知道为什么，可以仔细看看两个遍历的算法步骤，慢慢比对）

完整代码

  1. import java.util.ArrayList;
  2. import java.util.Arrays;
  3. import java.util.LinkedList;
  5. public class Graph { 
  7.     private ArrayList<String> vertexList; // 存储顶点集合
  8.     private int[][] edges; // 存储图对应的邻结矩阵
  9.     private int numOfEdges; // 表示边的数目
  10.     // 定义个数组boolean[], 记录某个结点是否被访问
  11.     private boolean[] isVisited;
  13.     public static void main(String[] args) { 
  15.         int n = 8; // 结点的个数
  16.         String Vertexs[] = {  "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8" };
  18.         // 创建图对象
  19.         Graph graph = new Graph(n);
  20.         // 循环的添加顶点
  21.         for (String vertex : Vertexs) { 
  22.             graph.insertVertex(vertex);
  23.         }
  25.         // 添加边
  26.         graph.insertEdge(0, 1, 1);
  27.         graph.insertEdge(0, 2, 1);
  28.         graph.insertEdge(1, 3, 1);
  29.         graph.insertEdge(1, 4, 1);
  30.         graph.insertEdge(3, 7, 1);
  31.         graph.insertEdge(4, 7, 1);
  32.         graph.insertEdge(2, 5, 1);
  33.         graph.insertEdge(2, 6, 1);
  34.         graph.insertEdge(5, 6, 1);
  36.         // 显示
  37.         graph.showGraph();
  39.         // 测试
  40.         System.out.println("深度遍历");
  41.         graph.dfs(); // [1->2->4->8->5->3->6->7]
  42.         System.out.println();
  43.         System.out.println("广度优先");
  44.         graph.bfs(); // [1->2->3->4->5->6->7->8]
  46.     }
  48.     // 构造器
  49.     public Graph(int n) { 
  50.         // 初始化矩阵和vertexList
  51.         edges = new int[n][n];
  52.         vertexList = new ArrayList<String>(n);
  53.         numOfEdges = 0;
  54.     }
  56.     // 得到第一个邻接结点的下标 w
  57.     /** * @param index * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1 */
  58.     public int getFirstNeighbor(int index) { 
  59.         for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) { 
  60.             if (edges[index][j] > 0) { 
  61.                 return j;
  62.             }
  63.         }
  64.         return -1;
  65.     }
  67.     // 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
  68.     public int getNextNeighbor(int v1, int v2) { 
  69.         for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) { 
  70.             if (edges[v1][j] > 0) { 
  71.                 return j;
  72.             }
  73.         }
  74.         return -1;
  75.     }
  77.     // 深度优先遍历算法
  78.     private void dfs(boolean[] isVisited, int i) { 
  79.         // 首先我们访问该结点,输出
  80.         System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
  81.         // 将结点设置为已经访问
  82.         isVisited[i] = true;
  83.         // 查找结点i的第一个邻接结点w
  84.         int w = getFirstNeighbor(i);
  85.         while (w != -1) { // 说明有
  86.             if (!isVisited[w]) { 
  87.                 dfs(isVisited, w);
  88.             }
  89.             // 如果w结点已经被访问过
  90.             w = getNextNeighbor(i, w);
  91.         }
  93.     }
  95.     // 对dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs
  96.     public void dfs() { 
  97.         isVisited = new boolean[vertexList.size()];
  98.         // 遍历所有的结点，进行dfs[回溯]
  99.         for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { 
  100.             if (!isVisited[i]) { 
  101.                 dfs(isVisited, i);
  102.             }
  103.         }
  104.     }
  106.     // 对一个结点进行广度优先遍历的方法
  107.     private void bfs(boolean[] isVisited, int i) { 
  108.         int u; // 表示队列的头结点对应下标
  109.         int w; // 邻接结点w
  110.         // 队列，记录结点访问的顺序
  111.         LinkedList queue = new LinkedList();
  112.         // 访问结点，输出结点信息
  113.         System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
  114.         // 标记为已访问
  115.         isVisited[i] = true;
  116.         // 将结点加入队列
  117.         queue.addLast(i);
  119.         while (!queue.isEmpty()) { 
  120.             // 取出队列的头结点下标
  121.             u = (Integer) queue.removeFirst();
  122.             // 得到第一个邻接结点的下标 w
  123.             w = getFirstNeighbor(u);
  124.             while (w != -1) { // 找到
  125.                 // 是否访问过
  126.                 if (!isVisited[w]) { 
  127.                     System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
  128.                     // 标记已经访问
  129.                     isVisited[w] = true;
  130.                     // 入队
  131.                     queue.addLast(w);
  132.                 }
  133.                 // 以u为前驱点，找w后面的下一个邻结点
  134.                 w = getNextNeighbor(u, w); // 体现出广度优先
  135.             }
  136.         }
  138.     }
  140.     // 遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
  141.     public void bfs() { 
  142.         isVisited = new boolean[vertexList.size()];
  143.         for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { 
  144.             if (!isVisited[i]) { 
  145.                 bfs(isVisited, i);
  146.             }
  147.         }
  148.     }
  150.     // 图中常用的方法
  151.     // 返回结点的个数
  152.     public int getNumOfVertex() { 
  153.         return vertexList.size();
  154.     }
  156.     // 显示图对应的矩阵
  157.     public void showGraph() { 
  158.         for (int[] link : edges) { 
  159.             System.err.println(Arrays.toString(link));
  160.         }
  161.     }
  163.     // 得到边的数目
  164.     public int getNumOfEdges() { 
  165.         return numOfEdges;
  166.     }
  168.     // 返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
  169.     public String getValueByIndex(int i) { 
  170.         return vertexList.get(i);
  171.     }
  173.     // 返回v1和v2的权值
  174.     public int getWeight(int v1, int v2) { 
  175.         return edges[v1][v2];
  176.     }
  178.     // 插入结点
  179.     public void insertVertex(String vertex) { 
  180.         vertexList.add(vertex);
  181.     }
  183.     // 添加边
  184.     /** * @param v1 * 表示点的下标是第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1 * @param v2 * 第二个顶点对应的下标 * @param weight * 表示连通性 */
  185.     public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) { 
  186.         edges[v1][v2] = weight;
  187.         edges[v2][v1] = weight;
  188.         numOfEdges++;
  189.     }
  190. }

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