高等数学：概率论（二）

末蓝、 2023-10-15 19:36 19阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  随机变量
 *  随机变量类型及分布

## 随机变量 ##

设随机实验E的样本空间为  Ω \\Omega Ω ，X为定义于样本空间 Ω \\Omega Ω上的函数，对任意的  w ∈ Ω w\\in \\Omega w∈Ω，总存在唯一确定的的  X ( w ) X(w) X(w) 与之对应，称 X ( w ) X(w) X(w)为随机变量。

随机变量的分布函数 设 X 为随机变量, 对任意的实数 x, 称函数  F ( x ) = P \{ X ⩽ x \} = P \{ X ∈ ( − ∞ , x \] \} F(x)=P\\\{X \\leqslant x\\\}=P\\\{X \\in(-\\infty, x\]\\\} F(x)=P\{ X⩽x\}=P\{ X∈(−∞,x\]\}为随机变量 X 的分布函数.

分布函数性质：

1.   0 ⩽ F ( x ) ⩽ 1 0 \\leqslant F(x) \\leqslant 1 0⩽F(x)⩽1
2.   F ( x ) F(x) F(x) 是 x 的单调不减函数;
3.   F ( x ) F(x) F(x) 关于x右连续;
4.   F ( − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ ) = 1 F(-\\infty)=0, F(+\\infty)=1 F(−∞)=0,F(\+∞)=1

设随机变量 X 的分布函数为 F(x), 则  
 ( 1 ) P \{ X < a \} = F ( a − 0 ) ; ( 2 ) P \{ a < X ⩽ b \} = P \{ X ⩽ b \} − P \{ X ⩽ a \} = F ( b ) − F ( a ) ; ( 3 ) P \{ a ⩽ X < b \} = P \{ X < b \} − P \{ X < a \} = F ( b − 0 ) − F ( a − 0 ) ; ( 4 ) P \{ a ⩽ X ⩽ b \} = P \{ X ⩽ b \} − P \{ X < a \} = F ( b ) − F ( a − 0 ) ; ( 5 ) P \{ a < X < b \} = P \{ X < b \} − P \{ X ⩽ a \} = F ( b − 0 ) − F ( a ) ; ( 6 ) P \{ X = a \} = P \{ X ⩽ a \} − P \{ X < a \} = F ( a ) − F ( a − 0 ) . (1) P\\\{X<a\\\}=F(a-0); \\\\ (2) P\\\{a<X \\leqslant b\\\}=P\\\{X \\leqslant b\\\}-P\\\{X \\leqslant a\\\}=F(b)-F(a); \\\\ (3) P\\\{a \\leqslant X<b\\\}=P\\\{X<b\\\}-P\\\{X<a\\\}=F(b-0)-F(a-0); \\\\ (4) P\\\{a \\leqslant X \\leqslant b\\\}=P\\\{X \\leqslant b\\\}-P\\\{X<a\\\}=F(b)-F(a-0); \\\\ (5) P\\\{a<X<b\\\}=P\\\{X<b\\\}-P\\\{X \\leqslant a\\\}=F(b-0)-F(a); \\\\ (6) P\\\{X=a\\\}=P\\\{X \\leqslant a\\\}-P\\\{X<a\\\}=F(a)-F(a-0). (1)P\{ X<a\}=F(a−0);(2)P\{ a<X⩽b\}=P\{ X⩽b\}−P\{ X⩽a\}=F(b)−F(a);(3)P\{ a⩽X<b\}=P\{ X<b\}−P\{ X<a\}=F(b−0)−F(a−0);(4)P\{ a⩽X⩽b\}=P\{ X⩽b\}−P\{ X<a\}=F(b)−F(a−0);(5)P\{ a<X<b\}=P\{ X<b\}−P\{ X⩽a\}=F(b−0)−F(a);(6)P\{ X=a\}=P\{ X⩽a\}−P\{ X<a\}=F(a)−F(a−0).

## 随机变量类型及分布 ##

1.离散型随机变量及其分布律

设X为随机变量，若X的可能取值是有限个或可列个，称X为离散型随机变量

设离散型随机变量X的可能取值为  x i ( i = 1 , 2.. ) x\_\{i\}(i=1,2..) xi(i=1,2..),称其对应的概率  P \{ X = x i \} = p i P\\left\\\{ X=x\_\{i\} \\right\\\}=p\_\{i\} P\{ X=xi\}=pi为随机变量X的分布律

离散型随机变量的分布函数为阶梯函数，且间断点即为随机变量X的可能取值  
0-1分布

X ∼ B ( 1 , p ) X \\sim B(1,p) X∼B(1,p)随机变量X的可能取值为0和1，且其概率为  P \{ X = 1 \} = p P\\left\\\{ X=1 \\right\\\}\{\}=p P\{ X=1\}=p ，  P \{ X = 0 \} = 1 − p P\\left\\\{ X=0 \\right\\\}\{\}=1-p P\{ X=0\}=1−p

二项分布（n重伯努利分布）  
 X ∼ B ( n , p ) P ( X = k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k X \\sim B(n,p) P(X=k)=C\_\{n\}^\{k\}p^\{k\}(1-p)^\{n-k\} X∼B(n,p)P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k  
泊松分布

设离散型随机变量X的分布律为  P \{ X = k \} = λ k k ! e − λ P\\left\\\{ X=k \\right\\\}=\\frac\{\\lambda^k\}\{k!\}e^\{-\\lambda\} P\{ X=k\}=k!λke−λ 称X服从参数为  λ \\lambda λ 的泊松分布，记为  X ∼ P ( λ ) X \\sim P(\\lambda) X∼P(λ)

几何分布

设离散型随机变量X的分布律为  P \{ X = k \} = p ( 1 − p ) k − 1 P\\left\\\{ X=k \\right\\\}=p(1-p)^\{k-1\} P\{ X=k\}=p(1−p)k−1称随机变量 X 服从几何分布,记为  X ∼ G ( p ) X \\sim G(p) X∼G(p)

设伯努利试验两结种可能拈果为 A 和  A ˉ \\bar\{A\} Aˉ , 其中  P ( A ) = p ( 0 < p < 1 ) P(A)=p(0<p<1) P(A)=p(0<p<1) , 随机变量 X 表示实验过程中 A 首次发生时试验的次数.

超几何分布  
 P \{ X = k \} = C M k ⋅ C N − M n − k C N n , 记为 X ∼ H ( n , M , N ) P\\\{X=k\\\}=\\frac\{\\mathrm\{C\}\_\{M\}^\{k\} \\cdot \\mathrm\{C\}\_\{N-M\}^\{n-k\}\}\{\\mathrm\{C\}\_\{N\}^\{n\}\} , 记为 X \\sim H(n, M, N) P\{ X=k\}=CNnCMk⋅CN−Mn−k,记为X∼H(n,M,N)

2.连续型随机变量及概率密度函数

设随机变量 X 的分布函数为 F(x), 若存在非负、可积的函数 f(x), 使得对任意实数 x, 有  
 F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x)=\\int\_\{-\\infty\}^\{x\} f(t) \\mathrm\{d\} t F(x)=∫−∞xf(t)dt  
称 X 为连续型随机变量,函数 f(x) 称为随机变量 X 的概率密度函数或概率密度.

连续型随机变量的密度函数满足:  
 ( 1 ) f ( x ) ⩾ 0 ; ( 2 ) ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 ; (1) f(x) \\geqslant 0; \\\\(2) \\int\_\{-\\infty\}^\{+\\infty\} f(x) \\mathrm\{d\} x=1; (1)f(x)⩾0;(2)∫−∞\+∞f(x)dx=1; 设 X 为连续型随机变量, 其分布函数为  
 F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x)=\\int\_\{-\\infty\}^\{x\} f(t) \\mathrm\{d\} t F(x)=∫−∞xf(t)dt 则  F ( x ) F(x) F(x) 为连续函数, 但不一定可导;（密度函数连续，分布函数才可导）

(4) 连续型随机变量在任一点处的概率为 0 ;

均匀分布

若随机变量X的概率密度函数为，  f ( x ) = \{ 1 b − a , a ⩽ x ⩽ b , 0 , 其他, f(x)= \\begin\{cases\}\\frac\{1\}\{b-a\}, & a \\leqslant x \\leqslant b, \\\\ 0, & \\text \{ 其他, \}\\end\{cases\} f(x)=\{ b−a1,0,a⩽x⩽b,其他,   
称随机变量 X 在区间 (a, b) 内服从均匀分布, 记为 X~ U(a, b). 其分布函数为  F ( x ) = \{ 0 , x < a x − a b − a , a ⩽ x < b 1 , x ⩾ b F(x)= \\begin\{cases\}0, & x<a \\\\ \\frac\{x-a\}\{b-a\}, & a \\leqslant x<b \\\\ 1, & x \\geqslant b\\end\{cases\} F(x)=⎩⎨⎧0,b−ax−a,1,x<aa⩽x<bx⩾b  
指数分布

若随机变量X的概率密度函数为KaTeX parse error: Expected group as argument to '\\right' at end of input: …lambda>0)\\right

称随机变量 X 服从参数为 \\lambda 的指数分布, 记为 X~ E( \\lambda ),其分布函数为 F(x)= \\begin\{cases\}0, & x<0 \\ 1-\\mathrm\{e\}^\{-\\lambda x\}, & x \\geqslant 0\\end\{cases\}

对于指数分布， P\{X>a+b \\mid X>a\}=P\{X>b\}

正态分布

若随机变量X的概率密度函数为 f(x)=\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2 \\pi\} \\sigma\} \\mathrm\{e\}\{-\\frac\{(x-\\mu)\{2\}\}\{2 \\sigma^\{2\}\}\}(-\\infty<x<+\\infty)

称随机变量 X 服从正太分布, 记为 X \\sim N(\\mu, \\sigma^2) ， P\{X \\leqslant \\mu\}=P\{X>\\mu\}=\\frac\{1\}\{2\}

若X服从标准正态分布， \\begin\{gathered\} \\Phi(0)=\\frac\{1\}\{2\} \\ \\Phi(-a)=1-\\Phi(a) \\end\{gathered\}