高等数学：概率论（三）

深碍√TFBOYSˉ_ 2023-10-15 19:37 21阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  随机变量函数的分布
 *  联合分布律
 *  联合概率分布的几何意义
 *  二维随机变量及其分布
 *   *  联合分布函数
     *  
     *  联合分布函数性质
 *  二维离散型随机变量
 *  二维连续型随机变量
 *  二维均匀分布
 *  二维正态分布
 *   *  二维随机变量的独立性

## 随机变量函数的分布 ##

设X为随机变量，其分布已知，称  Y = φ ( x ) Y=\\varphi(x) Y=φ(x)为随机变量X的函数，研究随机变量Y的分布即随机变量函数的分布

离散型：设 X 为离散型随机变量,  Y = φ ( X ) Y=\\varphi(X) Y=φ(X) , 只要根据 X 的可能取值及概率求出 Y 的可能取值及概率, 从而求出 Y 的分布律.

连续型：  F Y ( y ) = P \{ Y ⩽ y \} = P \{ φ ( X ) ⩽ y \} F\_\{Y\}(y)=P\\\{Y \\leqslant y\\\}=P\\\{\\varphi(X) \\leqslant y\\\} FY(y)=P\{ Y⩽y\}=P\{ φ(X)⩽y\}

## 联合分布律 ##

对于二维离散型随机变量，设二维随机变量（X,Y）至多取可列对数值 ( x i , y i ) (x\_\{i\}, y\_\{i\}) (xi,yi) ,记  P \{ X = x i , Y = y j \} = p i j ( ∗ ) P\\left\\\{ X=x\_\{i\},Y=y\_\{j\} \\right\\\}=p\_\{ij\} (\*) P\{ X=xi,Y=yj\}=pij(∗) . 若  p i j ≥ 0 且 ∑ i = 1 ∞ ∑ j = 1 ∞ p i j = 1 p\_\{ij\}\\geq 0 且 \\sum\_\{i=1\}^\{∞\}\{\}\\sum\_\{j=1\}^\{∞\}\{p\_\{ij\}\}=1 pij≥0且∑i=1∞∑j=1∞pij=1 ，称（X,Y）为二维随机型变量，（\*）为联合分布律

联合分布函数为  F ( x , y ) = P ( X ≤ x , Y ≤ y ) = ∑ x i ≤ x ∑ y j ≤ y p i j F(x,y)= P(X\\leq x, Y\\leq y)=\\sum\_\{x\_\{i\}\\leq x\}^\{\}\{\}\\sum\_\{y\_\{j\}\\leq y\}^\{\}\{p\_\{ij\}\} F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=xi≤x∑yj≤y∑pij  
设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数：  
 F ( x , y ) = P ( X < = x ) 交 ( Y < = y ) = > P ( X < = x , Y < = y ) F(x,y) = P\{(X<=x) 交 (Y<=y)\} => P(X<=x, Y<=y) F(x,y)=P(X<=x)交(Y<=y)=>P(X<=x,Y<=y)  
称为：二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

## 联合概率分布的几何意义 ##

如果将二维随机变量(X,Y)看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在以点(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。

## 二维随机变量及其分布 ##

定义:设X,Y为两个随机变量，称 (X,Y) 为二维随机变量

### 联合分布函数 ###

设(X,Y)为二维随机变量，对任意的实数x,y，称 F(x,y) = P(X\\leq x, Y\\leq y) 为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数

边缘分布函数

###  ###

对随机变量X，其分布函数为 F\_\{X\}(x)=P(X\\leq x ) ，称 F\_\{X\}(x) 为随机变量X的边缘分布函数

### 联合分布函数性质 ###

(1)有界性 0\\leq F(x,y)\\leq 1

(2)递增性 F(x,y) 关于x,y都是单调不减的函数

(3)右连续型 关于x,y都是右连续的函数

(4)  F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ , − ∞ ) = 0 , F ( − ∞ , + ∞ ) = 0 , F ( − ∞ , − ∞ ) = 1 F(-∞,-∞)=0,F(+∞,-∞)=0,F(-∞,+∞)=0,F(-∞,-∞)=1 F(−∞,−∞)=0,F(\+∞,−∞)=0,F(−∞,\+∞)=0,F(−∞,−∞)=1

## 二维离散型随机变量 ##

定义：设(X,Y)为二维随机变量，若(X,Y)的可能取值为有限对或可列对，称(X,Y)为二维离散型随机变量

联合分布率：设随机变量(X,Y)的可能取值为 (x\_\{i\},y\_\{i\}) ,称 P \{ X = x i , Y = y j \} = p i j 为 ( X , Y ) P\\left\\\{ X=x\_\{i\},Y=y\_\{j\} \\right\\\}=p\_\{ij\}为(X,Y) P\{ X=xi,Y=yj\}=pij为(X,Y)的联合分布率

称 P\\left\{ X=x\_\{i\} \\right\}\{\}=p\_\{i\} 为随机变量X的边缘分布率

## 二维连续型随机变量 ##

定义：设(X,Y)为二维随机变量，其联合分布函数为F(x,y) = P(X\\leq x, Y\\leq y) ，若存在非负、可积的二元函数f(x,y）,使得 F(x,y)=\\int\_\{-∞\}\{x\}du\\int\_\{-∞\}\{y\}f(u,v)dv ,称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为(X,Y)的联合密度函数

边缘密度函数：称 f\_\{X\}(x)=\\int\_\{-∞\}^\{+∞\}f(x,y)dy 为随机变量X的边缘密度函数

边缘分布函数：称 F\_\{X\}(x)=\\int\_\{-∞\}\{x\}dx\\int\_\{-∞\}\{+∞\}f(x,y)dy 为随机变量X的边缘分布函数

## 二维均匀分布 ##

设(X,Y)为二维随机变量，D为xOy平面的有限区域，其面积为A，若（X,Y）的联合密度函数为  f ( x , y ) = \{ 1 A , ( x , y ) ∈ D 0 , ( x , y ) ∉ D , f(x, y)= \\begin\{cases\}\\frac\{1\}\{A\}, & (x, y) \\in D \\\\ 0, & (x, y) \\notin D,\\end\{cases\} f(x,y)=\{ A1,0,(x,y)∈D(x,y)∈/D, ,称(X,Y)在区域D上服从均匀分布

## 二维正态分布 ##

\#?  
设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为  f ( x , y ) = 1 2 π σ 1 σ 2 1 − ρ 2 exp ⁡ \{ − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) \[ ( x − μ 1 σ 1 ) 2 − 2 ρ ( x − μ 1 ) ( y − μ 2 ) σ 1 σ 2 + ( y − μ 2 σ 2 ) 2 \] \} f(x, y)=\\frac\{1\}\{2 \\pi \\sigma\_\{1\} \\sigma\_\{2\} \\sqrt\{1-\\rho^\{2\}\}\} \\exp \\left\\\{-\\frac\{1\}\{2\\left(1-\\rho^\{2\}\\right)\}\\left\[\\left(\\frac\{x-\\mu\_\{1\}\}\{\\sigma\_\{1\}\}\\right)^\{2\}-2 \\rho \\frac\{\\left(x-\\mu\_\{1\}\\right)\\left(y-\\mu\_\{2\}\\right)\}\{\\sigma\_\{1\} \\sigma\_\{2\}\}+\\left(\\frac\{y-\\mu\_\{2\}\}\{\\sigma\_\{2\}\}\\right)^\{2\}\\right\]\\right\\\} f(x,y)=2πσ1σ21−ρ21exp\{ −2(1−ρ2)1\[(σ1x−μ1)2−2ρσ1σ2(x−μ1)(y−μ2)\+(σ2y−μ2)2\]\}  
则称(X,Y)服从二维正态分布，记为 (X, Y) \\sim N\\left(\\mu\_\{1\}, \\mu\_\{2\} ; \\sigma\_\{1\}^\{2\}, \\sigma\_\{2\}^\{2\} ; \\rho\\right) ,其中 \\rho 为随机变量X,Y的相关系数。

若(X, Y) \\sim N\\left(\\mu\_\{1\}, \\mu\_\{2\} ; \\sigma\_\{1\}^\{2\}, \\sigma\_\{2\}^\{2\} ; \\rho\\right) ,则 X \\sim N\\left(\\mu\_\{1\}, \\sigma\_\{1\}^\{2\}\\right)，Y \\sim N\\left(\\mu\_\{2\}, \\sigma\_\{2\}^\{2\}\\right) , aX+bY 服从一维正态分布，X,Y独立的充要条件是 \\rho=0

二维离散型随机变量的条件分布率

设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布率为 P\\left\{ X=x\_\{i\},Y=y\_\{j\} \\right\}=p\_\{ij\} ，在固定的事件 Y=y\_\{i\} 发生下，事件 \\left\{ X=x\_\{i\} \\right\} 发生的的概率为 P\\left\{X=x\_\{i\} \\mid Y=y\_\{j\}\\right\}=\\frac\{p\_\{i j\}\}\{p\_\{. j\}\}(i=1,2, \\cdots, m)

二维连续型随机变量的条件概率

设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)

对固定的Y=y的条件下，X的条件概率密度为 f\_\{X \\mid Y\}(x \\mid y)=\\frac\{f(x, y)\}\{f\_\{Y\}(y)\}

### 二维随机变量的独立性 ###

定义：设(X,Y)为二维随机变量，(X,Y)的联合分布函数为F(X,Y),随机变量X,Y的边缘分布函数为 F\_\{X\}(x),F\_\{Y\}(y) ,若对任意实数x,y，有 F(x,y)=F\_\{X\}(x)F\_\{Y\}(y) ，称随机变量X,Y是相互独立的