【C++】AVL树

Love The Way You Lie 2024-04-26 11:02 65阅读 0赞

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![在这里插入图片描述][85d8f838a7524c8bb8bed80b7ac059c1.gif_pic_center]

#### 文章目录 ####

*  前言：
 *  一.AVL树的概念
 *  二.AVL树结点的定义：
 *  三.插入结点操作：
 *   *  1.先根据key的大小将结点插入其应该在的位置
     *  2.更新平衡因子
     *  3.根据平衡因子不同的情况进行不同的操作：
     *   *  情况1：父节点的平衡因子等于0
         *  情况2：父节点的平衡因子变成1或-1：
         *  情况3：父节点的平衡因子变成2或-2：
         *   *  左单旋：新节点插入较高右子树的右侧---右右
             *  右单旋：新节点插入较高左子树的左侧---左左：
             *  先左单旋再右单旋：节点插入较高左子树的右侧---左右：
             *  先右单旋再左单旋：新节点插入较高右子树的左侧---右左：
 *  四.AVL树的删除(了解)
 *  五.AVL树的验证:
 *   *  1.二叉搜索树的验证：
     *  2.验证其为平衡树：
     *   *  a.每个节点子树高度差的绝对值不超过1
         *  b.节点的平衡因子是否计算正确
 *  总结

## 前言： ##

在前面我们学习了二叉搜索树，一个查询效率非常高的一个数据结构，但是如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下，效率就变成了log(n)（直接变成链表了）。所以，为了解决这种方法，大佬们创造出了AVL树和红黑树！  
  今天我们就来讲解并浅浅的手撕一下AVL树。

## 一.AVL树的概念 ##

两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决效率低的方法：

当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的**左右子树高度之差的绝对值不超过1**(需要对树中的结点进行调整)，即可**降低树的高度**，从而减少平均搜索长度。  
  简单的说，就是每插入一个结点，就检查一下该结点的左右子树高度差，如果超过1，那就进行调整（也就是旋转，后面会说到）。

所以AVL树的性质如下：

*  空树`root=nullptr`
 *  非空树：
 *  它的左右子树都是AVL树
 *  左右子树高度之差的绝对值不超过1

## 二.AVL树结点的定义： ##

其实，AVL树就是比我们之前学的二叉搜索树多一个平衡因子和一个父节点：

template<class K, class V>
    struct AVLTreeNode
    {
        
    	AVLTreeNode<K, V>* _left;
    	AVLTreeNode<K, V>* _right;
    	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
    
    	pair<K, V> _kv;
    	int _bf;
    
    	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
    		:_left(nullptr)
    		, _right(nullptr)
    		, _parent(nullptr)
    		, _kv(kv)
    		, _bf(0)
    	{
        }
    };

而父节点是为了解决旋转操作而做的准备。平衡因子`_bf`，用来表示节点的平衡状态。通常，平衡因子是**右子树的高度减去左子树的高度**。AVL树要求**每个节点**的平衡因子在`[-1, 1]`范围内，以**保持树的平衡**。

## 三.插入结点操作： ##

AVL树的插入操作分为三个步骤，认真看相信你一定能学会：

### 1.先根据key的大小将结点插入其应该在的位置 ###

这里的操作和二叉搜索树一样，就不用多说了：

template<class K, class V>
    class AVLTree
    {
        
    	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
    public:
    	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
    	{
        
    	//空结点直接插入
    		if (_root == nullptr)
    		{
        
    			_root = new Node(kv);
    			return true;
    		}
    //找到位置
    		Node* parent = nullptr;
    		Node* cur = _root;
    		while (cur)
    		{
        
    			if (cur->_kv.first < kv.first)
    			{
        
    				parent = cur;
    				cur = cur->_right;
    			}
    			else if (cur->_kv.first > kv.first)
    			{
        
    				parent = cur;
    				cur = cur->_left;
    			}
    			else
    			{
        
    				return false;
    			}
    		}
    //插入结点
    		cur = new Node(kv);
    		if (parent->_kv.first < kv.first)
    		{
        
    			parent->_right = cur;
    		}
    		else
    		{
        
    			parent->_left = cur;
    		}
    
    		cur->_parent = parent;

### 2.更新平衡因子 ###

我们对平衡因子的定义是：

> **右子树的高度-左子树的高度**

![在这里插入图片描述][d8ab7069be1a4865b50f622f546e22c5.png]  
所以要搞清楚每一个结点的平衡因子，在插入的时候就一定要算好。

*  如果我们插入的结点在父亲结点的右边，那父亲节的的平衡因子是不是就相当于+1了
 *  同样的如果我们插入的结点在父亲的左边，那就相当于父亲的平衡因子-1了。

if (cur == parent->_left)
    			{
        
    				parent->_bf--;
    			}
    else // if (cur == parent->_right)
    			{
        
    				parent->_bf++;
    			}

### 3.根据平衡因子不同的情况进行不同的操作： ###

#### 情况1：父节点的平衡因子等于0 ####

![在这里插入图片描述][5e4397d1e67e48d3ae7e73ec6d89d060.png]  
  更新以后parent平衡因子等于0，说明**parent所在子树的高度不变**(每次只插入一个结点，高度就要么增加1不平衡，要不就不变），**不会影响祖先结点的平衡因子**，就**不用继续沿着root的路径往上走**

#### 情况2：父节点的平衡因子变成1或-1： ####

![6459d90ee2b247e59c546967dd5106fc.png][]  
  更新以后parent的平衡因子等于1或-1，说明**parent的高度变了**，也就说明**parent所在的子树高度变高**了，此时就一定会**影响到祖先结点的平衡因子**。此时我们就要继续重复第二步骤：更新父亲的父亲的平衡因子，此时只要让`cur=parent`即可。

//当parent为空的时候就停止更新结点
    while (parent)
    	{
        
    	//不断更新结点：
    		if (cur == parent->_left)
    		{
        
    			parent->_bf--;
    		}
    		else 
    		{
        
    				parent->_bf++;
    		}
    		//情况1：停止更新
    		if (parent->_bf == 0)
    		{
        
    		// 更新结束
    			break;
    		}
    		//情况2：继续向上更新
    		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
    		{
        
    			// 继续往上更新
    			cur = parent;
    			parent = parent->_parent;
    		}
    		//情况3：旋转
    		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
    		{
        
    			// 子树不平衡了，需要旋转
    			
    		}
    		}

#### 情况3：父节点的平衡因子变成2或-2： ####

更新以后parent为2或-2，说明parent的子树高度变化，并且已经不平衡了，此时就要对于parent进行旋转。

那么什么是旋转呢？

我们以这个图为例子：

![在这里插入图片描述][406d246a80404bed83c10a98e9361e63.png]

此时搜索树的高度已经不平衡了，我们就要对其进行旋转，旋转以后会变成这个样子：  
![在这里插入图片描述][0e0803980ea64a0199db2d9290f13d44.png]

其实细心的大家会发现，旋转之后其实就相当于让**parent高**的那一侧**少了一层结点**，让**parent低**的那层**多了一层结点**。其实**本质就是本来左右差为2，让多的那一边把多的一个拿给少的，此时也就正好平衡了**。

那么，旋转到底是怎么操作的呢？  
![在这里插入图片描述][7279ea0c083d4f4db04586d889994807.png]  
这里我们要先记着旋转的前提：

1.  保持二叉搜索树
2.  变成平衡树并且降低这个子树的高度

在这里呢，旋转有很多种情况，最终分为下面的四种：

##### 左单旋：新节点插入较高右子树的右侧—右右 #####

左单旋的**核心操作**是这样的：

parent->right=cur->left;
    cur->left=parent;

我们先举一个简单的例子：  
![在这里插入图片描述][ffd2f1b9fda845ccab1e40eb59858470.png]  
这个树在通过左单旋之后会变成这样：  
![在这里插入图片描述][24bd65a23d8a41b2bbe1dcc6197deb5c.png]  
其实这里的本质就是：cur是在parent的右边，一定是比parent大的，所以说我们的parent可以放在cur的左边，这是没有问题的，而cur的左边那个结点怎么处理呢？cur左边的那个结点也是比parent大的，但是又要比cur小，所以我们将其放在parent的右边就可以了。这个时候也是满足二叉搜索树的性质，而且让树也平衡了。

当然这里还有特殊情况要判断一下，就是如果**cur左边为空，要多判断一下**。

具体旋转途径如下：  
![在这里插入图片描述][3abff3fbf93f4d53b5ea4004d7396dd6.png]  
那么我们何时左单旋呢？显而易见，**cur的值为1，parent为2**的时候就是**左单旋**了：

void RotateL(Node* parent)
    	{
        
    		Node* cur = parent->_right;
    		Node* curleft = cur->_left;
    
    		parent->_right = curleft;
    		if (curleft)
    		{
        
    			curleft->_parent = parent;
    		}
    
    		cur->_left = parent;
    
    		Node* ppnode = parent->_parent;
    		//这里要将其与上面的树连接起来，而parent的位置会改变，所以我们要提前记录下parent的parent结点。
    		parent->_parent = cur;
    
    
    		if (parent == _root)
    		{
        
    			_root = cur;
    			cur->_parent = nullptr;
    		}
    		else
    		{
        
    			if (ppnode->_left == parent)
    			{
        
    				ppnode->_left = cur;
    			}
    			else
    			{
        
    				ppnode->_right = cur;
    
    			}
    
    			cur->_parent = ppnode;
    		}
    
    		parent->_bf = cur->_bf = 0;
    	}

当然，这里还有一个很重要的就是旋转完以后，**cur和parent的平衡因子都变成了0**！！原因我刚刚也分析过了。

##### 右单旋：新节点插入较高左子树的左侧—左左： #####

这里和上面的右单旋其实是类似的，我们直接来看看过程图就可以了：  
![在这里插入图片描述][520603947cd34d3487257eb18ba7509d.png]

/*
    上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左
    子树增加
    了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子
    树增加一层，
    即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有
    右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点
    的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
    1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
    2. 60可能是根节点，也可能是子树
    如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
    如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
    同学们再此处可举一些详细的例子进行画图，考虑各种情况，加深旋转的理解
    */
    void _RotateR(PNode pParent)
    {
        
    // pSubL: pParent的左孩子
    // pSubLR: pParent左孩子的右孩子，注意：该
    PNode pSubL = pParent->_pLeft;
    PNode pSubLR = pSubL->_pRight;
    // 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子
    pParent->_pLeft = pSubLR;
    // 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲
    if(pSubLR)
    pSubLR->_pParent = pParent;
    // 60 作为 30的右孩子
    pSubL->_pRight = pParent;
    // 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲
    PNode pPParent = pParent->_pParent;
    // 更新60的双亲
    pParent->_pParent = pSubL;
    // 更新30的双亲
    pSubL->_pParent = pPParent;
    // 如果60是根节点，根新指向根节点的指针
    if(NULL == pPParent)
    {
        
    _pRoot = pSubL;
    pSubL->_pParent = NULL;
    }
    else
    {
        
    // 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
    if(pPParent->_pLeft == pParent)
    pPParent->_pLeft = pSubL;
    else
    pPParent->_pRight = pSubL;
    }
    // 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
    pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;
    }

##### 先左单旋再右单旋：节点插入较高左子树的右侧—左右： #####

对于以下情况，单纯的左单旋或者右单旋是无法解决的：  
![在这里插入图片描述][2d12554b31e641c69400a7bbb90dafc7.png]  
这个时候就要对其先进行右单旋，此时就变成了左单旋的模式，在对其进行左单旋就ok了，我们先以一个简单的例子为例子：  
![在这里插入图片描述][1f9ec183cf664681a0846e0e2bbefdce.png]  
此时我们先把90那个结点右单旋，就变成了parent=2，cur=1的模式，就可以左单旋了。

下面我们来看看过程图：  
![在这里插入图片描述][4ae58990dbdd4e81a64e74fff02203b0.png]  
其实这里的本质就是：  
![在这里插入图片描述][753556224b2f4678bf32f79ed72c83f2.png]  
所以旋转后平衡因子的更新和旋转前cur的平衡因子有关  
cur为0：  
![在这里插入图片描述][c319cc43ef8a44d28f45ceeec297bdb2.png]  
cur为-1：  
![在这里插入图片描述][a99acffd3d75442e8a610e47aef24824.png]  
cur为1：  
![在这里插入图片描述][7587434fa0d44830a2b76f3a93ed4445.png]  
代码实现：

void RotateRL(Node* parent)
    	{
        
    		Node* cur = parent->_right;
    		Node* curleft = cur->_left;
    		int bf = curleft->_bf;
    
    		RotateR(parent->_right);
    		RotateL(parent);
    
    		if (bf == 0)
    		{
        
    			cur->_bf = 0;
    			curleft->_bf = 0;
    			parent->_bf = 0;
    		}
    		else if (bf == 1)
    		{
        
    			cur->_bf = 0;
    			curleft->_bf = 0;
    			parent->_bf = -1;
    		}
    		else if (bf == -1)
    		{
        
    			cur->_bf = 1;
    			curleft->_bf = 0;
    			parent->_bf = 0;
    		}
    		else
    		{
        
    			assert(false);
    		}
    	}

##### 先右单旋再左单旋：新节点插入较高右子树的左侧—右左： #####

这里和上面的情况也是类似的，jrm可以自己画图分析啦~  
过程图如下：  
![在这里插入图片描述][2cb35ca44abf471dba2ab95eb65ab043.png]

总结：  
假如以Parent为根的子树不平衡，Parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

1.  pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR  
    当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋  
    当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
2.  pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL  
    当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋  
    当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，**已经平衡**，**不需要再向上更新**，需要马上break！！！

insert的完整代码：

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
    	{
        
    		if (_root == nullptr)
    		{
        
    			_root = new Node(kv);
    			return true;
    		}
    
    		Node* parent = nullptr;
    		Node* cur = _root;
    		while (cur)
    		{
        
    			if (cur->_kv.first < kv.first)
    			{
        
    				parent = cur;
    				cur = cur->_right;
    			}
    			else if (cur->_kv.first > kv.first)
    			{
        
    				parent = cur;
    				cur = cur->_left;
    			}
    			else
    			{
        
    				return false;
    			}
    		}
    
    		cur = new Node(kv);
    		if (parent->_kv.first < kv.first)
    		{
        
    			parent->_right = cur;
    		}
    		else
    		{
        
    			parent->_left = cur;
    		}
    
    		cur->_parent = parent;
    
    		// ... 控制平衡
    		// 更新平衡因子
    		while (parent)
    		{
        
    			if (cur == parent->_left)
    			{
        
    				parent->_bf--;
    			}
    			else // if (cur == parent->_right)
    			{
        
    				parent->_bf++;
    			}
    
    			if (parent->_bf == 0)
    			{
        
    				// 更新结束
    				break;
    			}
    			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
    			{
        
    				// 继续往上更新
    				cur = parent;
    				parent = parent->_parent;
    			}
    			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
    			{
        
    				// 子树不平衡了，需要旋转
    				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
    				{
        
    					RotateL(parent);
    				}
    				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
    				{
        
    					RotateR(parent);
    				}
    				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
    				{
        
    					RotateRL(parent);
    				}
    				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
    				{
        
    					RotateLR(parent);
    				}
    
    				break;
    			}
    			else
    			{
        
    				assert(false);
    			}
    		}
    
    
    		return true;
    	}
    
    	void RotateL(Node* parent)
    	{
        
    		++_rotateCount;
    
    		Node* cur = parent->_right;
    		Node* curleft = cur->_left;
    
    		parent->_right = curleft;
    		if (curleft)
    		{
        
    			curleft->_parent = parent;
    		}
    
    		cur->_left = parent;
    
    		Node* ppnode = parent->_parent;
    
    		parent->_parent = cur;
    
    
    		if (parent == _root)
    		{
        
    			_root = cur;
    			cur->_parent = nullptr;
    		}
    		else
    		{
        
    			if (ppnode->_left == parent)
    			{
        
    				ppnode->_left = cur;
    			}
    			else
    			{
        
    				ppnode->_right = cur;
    
    			}
    
    			cur->_parent = ppnode;
    		}
    
    		parent->_bf = cur->_bf = 0;
    	}
    
    
    	void RotateR(Node* parent)
    	{
        
    		++_rotateCount;
    
    		Node* cur = parent->_left;
    		Node* curright = cur->_right;
    
    		parent->_left = curright;
    		if (curright)
    			curright->_parent = parent;
    
    		Node* ppnode = parent->_parent;
    		cur->_right = parent;
    		parent->_parent = cur;
    
    		if (ppnode == nullptr)
    		{
        
    			_root = cur;
    			cur->_parent = nullptr;
    		}
    		else
    		{
        
    			if (ppnode->_left == parent)
    			{
        
    				ppnode->_left = cur;
    			}
    			else
    			{
        
    				ppnode->_right = cur;
    			}
    
    			cur->_parent = ppnode;
    		}
    
    		parent->_bf = cur->_bf = 0;
    	}
    
    	void RotateRL(Node* parent)
    	{
        
    		Node* cur = parent->_right;
    		Node* curleft = cur->_left;
    		int bf = curleft->_bf;
    
    		RotateR(parent->_right);
    		RotateL(parent);
    
    		if (bf == 0)
    		{
        
    			cur->_bf = 0;
    			curleft->_bf = 0;
    			parent->_bf = 0;
    		}
    		else if (bf == 1)
    		{
        
    			cur->_bf = 0;
    			curleft->_bf = 0;
    			parent->_bf = -1;
    		}
    		else if (bf == -1)
    		{
        
    			cur->_bf = 1;
    			curleft->_bf = 0;
    			parent->_bf = 0;
    		}
    		else
    		{
        
    			assert(false);
    		}
    	}
    
    	void RotateLR(Node* parent)
    	{
        
    		Node* cur = parent->_left;
    		Node* curright = cur->_right;
    		int bf = curright->_bf;
    
    		RotateL(parent->_left);
    		RotateR(parent);
    
    		if (bf == 0)
    		{
        
    			parent->_bf = 0;
    			cur->_bf = 0;
    			curright->_bf = 0;
    		}
    		else if (bf == -1)
    		{
        
    			parent->_bf = 1;
    			cur->_bf = 0;
    			curright->_bf = 0;
    		}
    		else if (bf == 1)
    		{
        
    			parent->_bf = 0;
    			cur->_bf = -1;
    			curright->_bf = 0;
    		}
    	}

## 四.AVL树的删除(了解) ##

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。至于具体的实现，有时间在更新吧！

## 五.AVL树的验证: ##

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

### 1.二叉搜索树的验证： ###

中序遍历即可，若有序，就说明为二叉搜索树

### 2.验证其为平衡树： ###

#### a.每个节点子树高度差的绝对值不超过1 ####

#### b.节点的平衡因子是否计算正确 ####

int Height()
    	{
        
    		return Height(_root);
    	}
    
    	int Height(Node* root)
    	{
        
    		if (root == nullptr)
    			return 0;
    
    		int leftHeight = Height(root->_left);
    		int rightHeight = Height(root->_right);
    
    		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
    	}
    
    	bool IsBalance()
    	{
        
    		return IsBalance(_root);
    	}
    
    	bool IsBalance(Node* root)
    	{
        
    		if (root == nullptr)
    			return true;
    
    		int leftHight = Height(root->_left);
    		int rightHight = Height(root->_right);
    
    		if (rightHight - leftHight != root->_bf)
    		{
        
    			cout << "平衡因子异常:" <<root->_kv.first<<"->"<< root->_bf << endl;
    			return false;
    		}
    
    		return abs(rightHight - leftHight) < 2
    			&& IsBalance(root->_left)
    			&& IsBalance(root->_right);
    	}

总的来说，要写这个验证就是为了检验我们代码里面的bug，说实话这段代码挺长的，如果代码出现问题我们一个一个调试去看会非常的难受，这也是一种调试技巧吧！

## 总结 ##

这就是AVL树的实现，个人感觉难度还是上了很多的。以后我也要多多复习这一部分。

更新不易，辛苦各位小伙伴们动动小手，?三连走一走?? ~ ~ ~ 你们真的对我很重要！最后，本文仍有许多不足之处，欢迎各位认真读完文章的小伙伴们随时私信交流、批评指正！

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