配凑法

心已赠人 2023-08-17 17:32 99阅读 0赞

## 前言 ##

> 配凑法也是高中数学中比较常用的一种数学方法。

## 使用场景 ##

*  为了将分式函数化简，使用配凑法；
 *  为了使用均值不等式，使用配凑法；

## 典例剖析 ##

例1【配凑和为定值，为使用均值不等式】已知\\(x，y>0\\)，\\(2x+3y=4\\)，求\\(xy\\)的最大值；

法1：\\(xy=\\cfrac\{6xy\}\{6\}=\\cfrac\{(2x)\\cdot (3y)\}\{6\}\\leq \\cfrac\{1\}\{6\}\\cdot \\Big(\\cfrac\{2x+3y\}\{2\}\\Big)^2=\\cfrac\{2\}\{3\}\\)

当且仅当

法2：代换法，变量集中。

例2【配凑为消去一部分分母，便于使用均值不等式】已知\\(a>1，b>0， a+b=4\\)，求\\(\\cfrac\{1\}\{a-1\}+\\cfrac\{4\}\{b\}\\)的最小值。

分析：由于\\(a+b=4\\Longrightarrow (a-1)+b=3\\)，

故\\(\\cfrac\{1\}\{a-1\}+\\cfrac\{4\}\{b\}=\\cfrac\{1\}\{3\}(\\cfrac\{1\}\{a-1\}+\\cfrac\{4\}\{b\})\\times 3\\) \\(=\\cfrac\{1\}\{3\}(\\cfrac\{1\}\{a-1\}+\\cfrac\{4\}\{b\})\\times \[(a-1)+b\]\\)

\\(=\\cfrac\{1\}\{3\}(1+4+\\cfrac\{b\}\{a-1\}+\\cfrac\{4(a-1)\}\{b\})\\geqslant \\cfrac\{1\}\{3\}(5+2\\sqrt\{4\})=3\\)，

当且仅当

例3【】研究函数\\(f(x)=\\cfrac\{x^2\}\{3-x\}\\)的图像或者单调性，

分析：

①\[配凑法\]变形，\\(\\cfrac\{x^2\}\{3-x\}=-\\cfrac\{x^2\}\{x-3\}=-\\cfrac\{(x-3)^2+6x-9\}\{x-3\}\\)\\(=-(x-3)-\\cfrac\{6x-18+9\}\{x-3\}=-(x-3)-\\cfrac\{9\}\{x-3\}-6\\)\\(=-\[(x-3)+\\cfrac\{9\}\{x-3\}\]-6\\)；

其图像可以借助\\(f(x)=x+\\cfrac\{9\}\{x\}\\)的图像变换得到，借助图像就可以研究其所有性质了；

②\[换元法\]变形，令\\(3-x=t\\)，则\\(x=3-t\\)，则\\(f(x)=\\cfrac\{x^2\}\{3-x\}=\\cfrac\{(3-t)^2\}\{t\}\\)\\(=\\cfrac\{t^2-6t+9\}\{t\}=t+\\cfrac\{9\}\{t\}-6=(3-x)+\\cfrac\{9\}\{3-x\}-6\\)\\(=-\[(x-3)+\\cfrac\{9\}\{x-3\}\]-6\\)；

③也可以使用导数法研究，但是和上述方法\[其优越性在于能用上我们积累的常用的模板函数的性质\]相比，感觉繁琐，

例4已知函数\\(f(x)\\)满足条件 \\(f(\\sqrt\{x\}+1)=x+2\\sqrt\{x\}\\)，求\\(f(x)\\)的解析式；

分析： \\(f(\\sqrt\{x\}+1)=x+2\\sqrt\{x\}=(\\sqrt\{x\}+1)^2-1\\)，

注意右端需要配凑出以\\(\\sqrt\{x\}+1\\)为整体变量的代数式，以便于下一步的代换，到此配凑工作结束；

令\\(\\sqrt\{x\}+1=t\\)，则新元\\(t\\ge 1\\)

故解析式为\\(f(t)=t^2-1(t\\ge 1)\\)，再将自变量替换为我们适应的\\(x\\)，

则所求的解析式为\\(f(x)=x^2-1(x\\ge 1)\\)。

解后反思：在等号的右端配凑出关于自变量整体的代数式，然后做代换。

转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11340815.html