799. 香槟塔 : 简单线性 DP 运用题

待我称王封你为后i 2023-10-03 21:38 48阅读 0赞

### 题目描述 ###

这是 LeetCode 上的 **[799. 香槟塔][799.]** ，难度为 **中等**。

Tag : 「动态规划」、「线性 DP」

我们把玻璃杯摆成金字塔的形状，其中 第一层 有 `1` 个玻璃杯， 第二层 有 `2` 个，依次类推到第 `100` 层，每个玻璃杯 (`250ml`) 将盛有香槟。

从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟，当顶层的杯子满了，任何溢出的香槟都会立刻等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右两边的杯子也满了，就会等流量的流向它们左右两边的杯子，依次类推。（当最底层的玻璃杯满了，香槟会流到地板上）

例如，在倾倒一杯香槟后，最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后，第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后，第二层的香槟满了 - 此时总共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后，第三层中间的玻璃杯盛放了一半的香槟，他两边的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟，如下图所示。

![format_png][]

现在当倾倒了非负整数杯香槟后，返回第 i 行 j 个玻璃杯所盛放的香槟占玻璃杯容积的比例（ i 和 j 都从0开始）。

示例 1:

输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 1, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
    
    输出: 0.00000
    
    解释: 我们在顶层（下标是（0，0））倒了一杯香槟后，没有溢出，因此所有在顶层以下的玻璃杯都是空的。
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示例 2:

输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 2, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
    
    输出: 0.50000
    
    解释: 我们在顶层（下标是（0，0）倒了两杯香槟后，有一杯量的香槟将从顶层溢出，位于（1，0）的玻璃杯和（1，1）的玻璃杯平分了这一杯香槟，所以每个玻璃杯有一半的香槟。
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示例 3:

输入: poured = 100000009, query_row = 33, query_glass = 17
    
    输出: 1.00000
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提示:

*  0<= poured<=1090 <= poured <= 10^90<= poured<=109
 *  0<=queryglass<=queryrow <1000 <= query\_glass <= query\_row < 1000<=queryglass<=queryrow <100

### 线性 DP ###

为了方便，我们令 `poured` 为 `k`，`query_row` 和 `query_glass` 分别为 nnn 和 mmm。

定义 f\[i\]\[j\]f\[i\]\[j\]f\[i\]\[j\] 为第 iii 行第 jjj 列杯子所经过的水的流量（而不是最终剩余的水量）。

起始我们有 f\[0\]\[0\]=kf\[0\]\[0\] = kf\[0\]\[0\]=k，最终答案为 min⁡(f\[n\]\[m\],1)\\min(f\[n\]\[m\], 1)min(f\[n\]\[m\],1)。

不失一般性考虑 f\[i\]\[j\]f\[i\]\[j\]f\[i\]\[j\] 能够更新哪些状态：显然当 f\[i\]\[j\]f\[i\]\[j\]f\[i\]\[j\] 不足 111 的时候，不会有水从杯子里溢出，即 f\[i\]\[j\]f\[i\]\[j\]f\[i\]\[j\] 将不能更新其他状态；当 f\[i\]\[j\]f\[i\]\[j\]f\[i\]\[j\] 大于 111 时，将会有 f\[i\]\[j\]−1f\[i\]\[j\] - 1f\[i\]\[j\]−1 的水会等量留到下一行的杯子里，所流向的杯子分别是「第 i+1i + 1i+1 行第 jjj 列的杯子」和「第 i+1i + 1i+1 行第 j+1j + 1j+1 列的杯子」，增加流量均为 f\[i\]\[j\]−12\\frac\{f\[i\]\[j\] - 1\}\{2\}2f\[i\]\[j\]−1，即有 f\[i+1\]\[j\]+=f\[i\]\[j\]−12f\[i + 1\]\[j\] += \\frac\{f\[i\]\[j\] - 1\}\{2\}f\[i+1\]\[j\]+=2f\[i\]\[j\]−1 和 f\[i+1\]\[j+1\]+=f\[i\]\[j\]−12f\[i + 1\]\[j + 1\] += \\frac\{f\[i\]\[j\] - 1\}\{2\}f\[i+1\]\[j+1\]+=2f\[i\]\[j\]−1。

Java 代码：

class Solution {
        public double champagneTower(int k, int n, int m) {
            double[][] f = new double[n + 10][n + 10];
            f[0][0] = k;
            for (int i = 0; i <= n; i++) {
                for (int j = 0; j <= i; j++) {
                    if (f[i][j] <= 1) continue;
                    f[i + 1][j] += (f[i][j] - 1) / 2;
                    f[i + 1][j + 1] += (f[i][j] - 1) / 2;
                }
            }
            return Math.min(f[n][m], 1);
        }
    }
    复制代码

TypeScript 代码：

Python3 代码：

class Solution:
        def champagneTower(self, k: int, n: int, m: int) -> float:
            f = [[0] * (n + 10) for _ in range(n + 10)]
            f[0][0] = k
            for i in range(n + 1):
                for j in range(i + 1):
                    if f[i][j] <= 1:
                        continue
                    f[i + 1][j] += (f[i][j] - 1) / 2
                    f[i + 1][j + 1] += (f[i][j] - 1) / 2
            return min(f[n][m], 1)
    复制代码

*  时间复杂度：O(n2)O(n^2)O(n2)
 *  空间复杂度：O(n2)O(n^2)O(n2)

### 最后 ###

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.799` 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：[github.com/SharingSour…][github.com_SharingSour] 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

[799.]: https://link.juejin.cn?target=https%3A%2F%2Fleetcode.cn%2Fproblems%2Fchampagne-tower%2Fsolution%2Fby-ac_oier-c8jn%2F
[format_png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/15c4eb53c6aabc08d719ec5dff5ec73d.webp?x-oss-process=image/format,png
[github.com_SharingSour]: https://link.juejin.cn?target=https%3A%2F%2Fgithub.com%2FSharingSource%2FLogicStack-LeetCode