322. 零钱兑换-蒲公英云

322. 零钱兑换

题干分析
解题思路
- 1. 确定dp数组以及下标的含义
- 1. 确定递推公式
- 1. dp数组如何初始化
- 1. 确定遍历顺序
- 1. 举例推导dp数组
总结
代码实现

题干分析

力扣入口

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

示例 4：

输入：coins = [1], amount = 1
输出：1

示例 5：

输入：coins = [1], amount = 2
输出：2

提示：

1 <= coins.length <= 12
1 <= coins[i] <= 2^31 - 1
0 <= amount <= 10^4

解题思路

在动态规划：518.零钱兑换II中我们已经兑换一次零钱了，这次又要兑换，套路不一样！

题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]

2. 确定递推公式

凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）

所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。

递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

3. dp数组如何初始化

首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;

其他下标对应的数值呢？

考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。

所以下标非0的元素都是应该是最大值。

4. 确定遍历顺序

本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。

所以本题并不强调集合是组合还是排列。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

在动态规划专题我们讲过了求组合数是动态规划：518.零钱兑换II，求排列数是动态规划：377. 组合总和 Ⅳ。

所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的！

那么这里采用coins放在外循环，target在内循环的方式。

本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序。

综上所述，遍历顺序为：coins（物品）放在外循环，target（背包）在内循环。且内循环正序。

5. 举例推导dp数组

以输入：coins = [1, 2, 5], amount = 5为例
在这里插入图片描述
dp[amount]为最终结果。

总结

细心的同学看网上的题解，可能看一篇是遍历背包的for循环放外面，看一篇又是遍历背包的for循环放里面，看多了都看晕了，到底两个for循环应该是什么先后关系。

而本题是要求最少硬币数量，硬币是组合数还是排列数都无所谓！所以两个for循环先后顺序怎样都可以！

代码实现

class Solution {
    // 322. 零钱兑换
    public int coinChange(int[] coins, int amount){
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[amount + 1];
        // 初始化dp数组为最大值
        for(int j = 0; j < dp.length; j++){
            dp[j] = max;
        }
        //当金额为0时需要的硬币数目为0
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < coins.length; i++){
            //正序遍历: 完全背包每个硬币可以选择多次
            for(int j = coins[i]; j <= amount; j++){
                //只有dp[j - coins[i]]不是初始最大值时，该位才有选择的必要
                if(dp[j - coins[i]] != max){
                    //选择硬币数目最小的情况
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[amount] == max ? -1 : dp[amount];
    }
}