石子合并问题 （区间dp）
石子合并问题是最经典的DP问题。首先它有如下3种题型：
(1)有N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动任意的2堆石子合并，合并花费为新合成的一堆石子的数量。求将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）。
分析：当然这种情况是最简单的情况，合并的是任意两堆，直接贪心即可，每次选择最小的两堆合并。本问题实际上就是哈夫曼的变形。
(2) 有N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动相邻的2堆石子合并，合并花费为新合成的一堆石子的数量。求将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）。
分析：我们熟悉矩阵连乘，知道矩阵连乘也是每次合并相邻的两个矩阵，那么石子合并可以用矩阵连乘的方式来解决。
设dp[i][j]表示第i到第j堆石子合并的最优值，sum[i][j]表示第i到第j堆石子的总数量。那么就有状态转移公式：
当 i = j 时，dp[ i ][ j ] = 0;
当i != j 时，dp[ i ][ j ] = min(dp[i][j], dp[ i ][ k ]+dp[ k+1 ][ j ] ) + sum[ i ][ j ].
代码：复杂度为O(n^3).
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int a[1010];int dp[1010][1010];int sum[1010][1010];int main(){ios::sync_with_stdio(false);int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];}for(int i=1;i<n;i++){sum[i][i]=a[i];for(int j=i+1;j<=n;j++){sum[i][j]=sum[i][j-1]+a[j];//合并区间i到j的结果}}for(int r=2;r<=n;r++)//区间长度为 r的最小值{for(int i=1;i<=n-(r-1);i++)//枚举区间长度的开头{int j=i+(r-1);//区间长度固定，根据开头求出结尾dp[i][j]=999999999;for(int k=i;k<j;k++)//枚举出合并这段区间以前的最小花费{dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]);}dp[i][j] += sum[i][j];//加上这一段合并的花费}}cout<<dp[1][n]<<endl;return 0;}
因为上面的复杂度为O(n^3)，那么我们可以利用平行四边形优化，优化为O(n^2).
代码：
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int a[1010];int dp[1010][1010];int sum[1010][1010];int p[1010][1010];int main(){ios::sync_with_stdio(false);int n;cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];}for(int i=1;i<n;i++){sum[i][i]=a[i];for(int j=i+1;j<=n;j++){sum[i][j]=sum[i][j-1]+a[j];//合并区间i到j的结果}}for(int i=1;i<=n;i++){p[i][i]=i;}for(int len=1;len<n;len++){for(int i=1;i+len<=n;i++){int end = i+len;int tmp=0x3ffffff;int k=0;for(int j = p[i][end-1]; j <= p[i+1][end]; j++){if(dp[i][j] + dp[j+1][end] + sum[i][end] < tmp){tmp=dp[i][j] + dp[j+1][end] + sum[i][end];k=j;}}dp[i][end] = tmp;p[i][end] = k;}}/*for(int r=2;r<=n;r++)//区间长度为 r的最小值{for(int i=1;i<=n-(r-1);i++)//枚举区间长度的开头{int j=i+(r-1);//区间长度固定，根据开头求出结尾dp[i][j]=999999999;for(int k=i;k<j;k++)//枚举出合并这段区间以前的最小花费{dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]);}dp[i][j] += sum[i][j];//加上这一段合并的花费}}*/cout<<dp[1][n]<<endl;return 0;}
(3) 问题(2)的是在石子排列是直线情况下的解法，如果把石子改为环形排列，又怎么做呢？
分析：状态转移方程为：
当 j =0 时，dp[i][j]=0.
当 j > 0&& 0<=k < j, dp[i][j]=min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[(i+k+1)%n][j-k-1] + sum(i,j).
代码：
#include<bits/sdc++.h>using namespace std;const int INF = 1 << 30;const int N = 205;int mins[N][N];int maxs[N][N];int sum[N],a[N];int minval,maxval;int n;int getsum(int i,int j){if(i+j >= n) return getsum(i,n-i-1) + getsum(0,(i+j)%n);else return sum[i+j] - (i>0 ? sum[i-1]:0);}void solve(int a[],int n){for(int i=0;i<n;i++) mins[i][0] = maxs[i][0] = 0;for(int j=1;j<n;j++){for(int i=0;i<n;i++){mins[i][j] = INF;maxs[i][j] = 0;for(int k=0;k<j;k++){mins[i][j] = min(mins[i][j],mins[i][k] + mins[(i+k+1)%n][j-k-1] + getsum(i,j));maxs[i][j] = max(maxs[i][j],maxs[i][k] + maxs[(i+k+1)%n][j-k-1] + getsum(i,j));}}}minval = mins[0][n-1];maxval = maxs[0][n-1];for(int i=0;i<n;i++){minval = min(minval,mins[i][n-1]);maxval = max(maxval,maxs[i][n-1]);}}int main(){while(~scanf("%d",&n)){for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);sum[0] = a[0];for(int i=1;i<n;i++) sum[i] = sum[i-1] + a[i];solve(a,n);printf("%d %d\n",minval,maxval);}return 0;}
爱被打了一巴掌
拼搏现实的明天。
傷城~
分手后的思念是犯贱
朱雀
Bertha 。
￡神魔★判官ぃ
小灰灰
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